量子力学概论

3.2 哈密顿算符的本征值 Hermitian operator

2020-06-17 本文已影响0人莎野椰

https://www.youtube.com/watch?v=U3VULgHAIxo&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=36

前言

我们来继续考虑量子力学中哈密顿算符和对应本征值的数学表现形式

1. 哈密顿算符和本征值

通过上节的讲解，可以知道哈密顿矩阵就是厄密矩阵，满足下面的等式： $\langle f | \hat Q g\rangle = \ \ \langle \hat Q f | g \rangle$

求解下面的方程
可以得到一系列本征态, 本征值。
- 情况一：本征值，本征态都是离散的，比如有限深势阱体系的时间不相关薛定谔方程。
- 情况二：本征值，本征态都是连续的，比如自由粒子体系
  
  image.png

2. 分别解释

离散：
- 证明：哈密顿算符的本征值是实数
- 以此式为基础 $(1) \ \hat Q | \psi \rangle = q | \psi \rangle$ ，对该式两边求共轭得到： $(2) \ \langle \hat Q \psi | = q^* \langle \psi |$
- 将上述两个式子带入下面的厄米算符等式：
  $\langle \hat Q f | f \rangle = \langle f | \hat Q f \rangle$
  得到
  $q^* \langle f | f \rangle = q \langle f | f \rangle$
  等于：
  $q^* = q$
- 证明：哈密顿算符的本征向量是正交的
  - 以下面两式为基础：
    $\hat Q | f \rangle = q_f | f \rangle$
    $\hat Q | g\rangle = q_g | g \rangle$
  - 带入下面的厄米算符等式：
    $\langle f | \hat Q g \rangle = \langle \hat Q f | g \rangle$
    得到
    $q_g \langle f | g \rangle = q_f \langle f | g \rangle$
    如果： $q_g \neq q_f$ ，那么只有 $\langle f | g \rangle = \langle f | g \rangle = 0$
- 哈密顿算符的本征态是完备的
  - 求解以下方程： $\ \hat Q | \psi \rangle = q | \psi \rangle$
  - 得到 $\{|\psi_n \rangle \}$ ， $\{ q_n \}$
    完备的意思是：任何算符都可以表示为本征态的线性组合，即
    $任何 |f\rangle = \sum_n a_n | \psi_n \rangle$
    傅立叶变换后也可以表示为：
    $a_n = \langle \psi_n | f \rangle$
- 以上说的都是离散的本征态（波函数，如深势阱，谐振子体系），如果连续的呢？
连续：
对于连续的一系列本征态:
假设有： $\hat p |\psi \rangle = p | \psi \rangle \ \ \ \ \sim \ \ \ \ 对应本征态：\underbrace{e^{i(kx - \frac{\hbar k}{2m}t)}}_{|\psi_p \rangle}$
- 那么首先这个本征态是不是归一化的
  $\langle \psi_{p1} | \psi_{p2} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(kx - \frac{\hbar k}{2m}t)} \ e^{i(kx - \frac{\hbar k}{2m}t)}$
  化简上述方程：
  - 如果： $p_1 = p_2$
  上述方程可以简化为： $\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} 1 dx \rightarrow \infty$ 这样说明波函数不是归一化的！
  - 如果： $p_1 \neq p_2$
  上述方程可以简化为： $\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(...)x...}$ 未完待续...

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