线代

2018-11-14  本文已影响0人  zeiii
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行列式

1.逆序：i>j时，i,j两个数字组成一对逆序(i,j)，只算一对。
2.逆序数：\tau(i_1,i_2\cdots i_n)为一个排列中的逆序对的总数，奇排列偶排列。

行列式：一个数，表示为\color{purple}{n^2}个数组成的数表。
D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \qquad D=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
行列式的计算公式中行标已经排好序了，列标是变动的。等于从每一行选一个不重复的列出来相乘，然后所有这样的选法相加，所以有n!项。

1.余子式：一定是关于某个元素的，所在行所在列都去掉就是这个元素的余子式。只和这个元素的位置有关而和数值无关。记为M_{ij}
2.代数余子式：余子式乘上\color{purple}{(-1)^{i+j}}就是代余，记为A_{ij}，依旧与该元素数值无关。一个元素的值任意改动，余子式和代余都不变。
\color{blue}{trick:计算}

行列式的性质：

  1. 行的性质对列也成立
  2. 换行换号
  3. 单行提公因式
  4. 行零零，相同零，成比零
  5. 加另一行不变
  6. 行列式等于一行的元素乘以它们的代余然后相加，乘以其他行的代余会得0//相当于对另一个矩阵展开，此时这个矩阵有两行相同。
  1. |A^T|=|A|
  2. |kA|=k^n|A|
  3. |AB|=|A|·|B|
  4. |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}
  5. |A^*|=|A|^{n-1}

方程组

n元齐组： \begin{cases} a_{11} x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0,\\ a_{21} x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0,\\ \qquad\qquad\qquad\quad\vdots\\ a_{m1} x_1+a_{m2}x_2+\cdots +a_{mn}x_n=0, \end{cases}n元非齐组： \begin{cases} a_{11} x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21} x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=b_2,\\ \qquad\qquad\qquad\quad\vdots\\ a_{m1} x_1+a_{m2}x_2+\cdots +a_{mn}x_n=b_m, \end{cases}
A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}， X= \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}_{\color{purple}{n \times 1}}， b= \begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}_{\color{purple}{m \times 1}}，方程组改写为AX=0，AX=B.\\ \overline A=(A | b)为非齐组的增广矩阵\\ 把A拆成列向量,齐组和非齐组还可以写成x_1\alpha_1+\cdots x_n\alpha _n=0\ or \ b

一.关于解的定理： //齐组一定有解
1.AX=0只有零解\iff r(A)=n  "线无"
2.AX=0有无数解\iff r(A)<n  "线相"
3.AX=b有唯一解\iff r(A)=r(\overline A)=n  "可线表"
4.AX=b有无数解\iff r(A)=r(\overline A)<n  "可线表"
4.AX=b无解\iff r(A) \ne r(\overline A)  "不可线表"

二.解的结构：
1.齐组的解做任意线性组合还是齐组的解。  "基础解系"
2.非齐的一个解加上齐组的任意线性组合的解还是非齐的解。  "通解"
3.非齐的两个解相减变为齐组的一个解。
4.非齐的解做归一组合(系数相加为1)还是非齐的解 。
5.非齐的解做归零组合变为齐组的解。

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