高中奥数 2022-03-24

2022-03-24 本文已影响0人不为竞赛学奥数

2022-03-24-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P067 习题01）

已知 $a,b,c\in \mathbb{R}$ ,且 $a+b+c>0$ , $ab+bc+ca>0$ , $abc>0$ .求证:
$a>0,b>0,c>0.$

证明

若不然,由于 $abc>0$ ,不妨设 $a<0$ , $b<0$ , $c>0$ .由 $a+b+c>0$ 得 $c>\left|a+b\right|$ ,而 $ab>c\cdot \left|a+b\right|$ ,则 $ab>\left|a+b\right|^{2}$ ,矛盾!

2022-03-24-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P067 习题02）

求证:下列不等式组无实数解
$\begin{cases} \left|x\right|>\left|y-z+t\right|,\\ \left|y\right|>\left|x-z+t\right|,\\ \left|z\right|>\left|x-y+t\right|,\\ \left|t\right|>\left|x-y+z\right|. \end{cases}$

证明

反设存在实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 、 $t$ 满足不等式组,则两边平方后可得:
$\left(x+y-z+t\right)\left(x-y+z-t\right)>0;$
$\left(y+x-z+t\right)\left(y-x+z-t\right)>0;$
$\left(z+x-y+t\right)\left(z-x+y-t\right)>0;$
$\left(t+x-y+z\right)\left(t-x+y-z\right)>0.$
从而有 $-\left(x+y-z+t\right)^{2}\left(x-y+z-t\right)^{2}\left(y-x+z-t\right)^{2}\left(z+x-y+t\right)^{2}>0$ ,矛盾!

2022-03-24-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P067 习题03）

设实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $p$ 、 $q$ 满足:
$ab+cd=2pq,ac\geqslant p^{2}>0,$
求证: $bd\leqslant q^{2}$ .

证明

如果 $bd>q^{2}$ , $4abcd=4\left(ac\right)\left(bd\right)>4p^{2}q^{2}=\left(ab+cd\right)^{2}=a^{2}b^{2}+2abcd+c^{2}d^{2}$ ,故 $\left(ab-cd\right)^{2}<0$ .矛盾!

2022-03-24-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P067 习题04）

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为正实数,且 $a+b+c\geqslant abc$ ,求证:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant abc.$

证明

若 $a^{2}+b^{2}+c^{2}<abc$ ,则 $a<bc$ , $b<ca$ , $c<ab$ .

故 $a+b+c<ab+b+ca\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}<abc$ ,矛盾!

2022-03-24-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P067 习题05）

设 $f\left(x\right)$ 、 $g\left(x\right)$ 是 $\left[0,1\right]$ 上的实值函数.求证:存在 $x_{0},y_{0}\in \left[0,1\right]$ ,使得
$\left|x_{0}y_{0}-f\left(x_{0}\right)-g\left(y_{0}\right)\right|\geqslant \dfrac{1}{4}.$

证明

用反证法,若不然,则对一切 $x,y\in \left[0,1\right]$ ,都有: $\left|xy-f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\dfrac{1}{4}$ ,分别取 $\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$ 、 $\left(0,1\right)$ 、 $\left(1,0\right)$ 、 $\left(1,1\right)$ ,有: $\left|f\left(0\right) +g\left(0\right)\right|<\dfrac{1}{4}$ , $\left|f\left(0\right)+g\left(1\right)\right|<\dfrac{1}{4}$ , $\left|f\left(1\right)+ g\left(0\right)\right|<\dfrac{1}{4}$ , $\left|1-f\left(1\right)-g\left(1\right)\right|<\dfrac{1}{4}$ .

因此,
$\begin{aligned} 1&=\left|1-f\left(1\right)-g\left(1\right)+f\left(0\right)+g\left(1\right)+f\left(1\right)+g\left(0\right)-f\left(0\right)-g\left(0\right)\right|\\ &\leqslant\left|1-f\left(1\right)-g\left(1\right)\right|+\left|f\left(0\right)+g\left(1\right)\right|+\left|f\left(1\right)+g\left(0\right)\right|+\left|f\left(0\right)+g\left(0\right)\right|\\ &<1, \end{aligned}$
矛盾!

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