大学生数学竞赛

高代——数学竞赛决赛

2019-02-15  本文已影响0人  抄书侠

第一届

七（20分）设A，B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n-1 \leq \mathrm{rank} A \leq \mathrm{n}，证明：
存在实可逆矩阵C使得C^TAC和C^TBC均为对角阵
八（15分）设V是复数域\mathbb{C}上的n维线性空间，f_{j} : V \rightarrow C(j=1,2)是非零的线性函数且线性无关，证明：任意的\alpha\in V都可表示\alpha=\alpha_1+\alpha_2，使得f_{1}(\alpha)=f_{1}\left(\alpha_{2}\right) f_{2}(\alpha)=\mathrm{f}_{2}\left(\alpha_{1}\right)

第二届

四、（15分）设A \in M_{n}(\mathbf{C})，定义线性变换\sigma_{A} : M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C}), \sigma_{A}(X)=A X-X A证明：当A可对角化时，\sigma_{A}也可对角化。这里M_{n}(\mathbb{C})是复数域\mathbb{C}上n阶方阵组成的线性空间.
六、（20分）设\varphi : M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}是非零线性映射，满足\varphi(X Y)=\varphi(Y X), \quad \forall X, Y \in M_{n}(\mathbb{R})这里M_{n}(\mathbb{R})是实数域\mathbb{R}上n阶方阵组成的线性空间.在M_{n}(\mathbb{R})上定义双线性型（-，-）：
M_{n}(\mathbb{R}) \times M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}为(X, Y)=\varphi(X Y).
（1）证明（-，-）是非退化的，即若(X, Y)=0, \quad \forall Y \in M_{n}(\mathbb{R})则X=O；
（2）设A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n^{2}}是M_{n}(\mathbb{R})的一组基，B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n^{2}}是相应的对偶基，即\left(A_{i}, B_{j}\right)=\delta_{i j}=\left\{\begin{array}{l}{0，当i\not= j} \\ {1，当i=j}\end{array}\right.证明立
\sum_{i=1}^{n^{2}} A_{i} B_{i}是数量矩阵。

第三届

五、（本题15分）设A，B分别是3×2和2×3实矩阵，若A B=\left( \begin{array}{ccc}{8} & {0} & {-4} \\ {-\frac{3}{2}} & {9} & {-6} \\ {-2} & {0} & {1}\end{array}\right)求BA.
六、（本题20分）设\left\{A_{i}\right\}_{i \in I},\left\{B_{i}\right\}_{i \in I}是数域F上两个矩阵集合，称它们在F上相似：如果存在F上与i\in I无关的可逆矩阵P使得P^{-1} A_{i} P=B_{i}, \forall i \in I证明：
有理数域\mathbb{Q}上两个矩阵集合\left\{A_{i}\right\}_{i \in I},\left\{B_{i}\right\}_{i \in I}，如果它们在实数域\mathbb{R}上相似，则它们在有理数域\mathbb{Q}上也相似。

第四届

三、（本题15分）设n阶实方阵A的每个元素的绝对值为2.证明：当n≥3时，
|A| \leqslant \frac{1}{3} \cdot 2^{n+1} n !
五、设A=\left( \begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{13}} & {a_{23}} & {a_{33}}\end{array}\right)实对称矩阵，A^*为A的伴随矩阵，记f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left| \begin{array}{cccc}{x_{1}^{2}} & {x_{2}} & {x_{3}} & {x_{4}} \\ {-x_{2}} & {a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {-x_{3}} & {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {-x_{4}} & {a_{13}} & {a_{23}} & {a_{33}}\end{array}\right|若|A|=-12,A的特征值之和为1，且(1,0,-2)^T为\left(A^{*}-4 I\right) x=0的一个解。试给出一正交变换\left( \begin{array}{l}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}}\end{array}\right)=Q \left( \begin{array}{l}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {y_{3}} \\ {y_{4}}\end{array}\right)，使得f(x_1,x_2,x_3,x_4)化为标准型

第五届

二、设实二次型f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x^{T} A x，其中\boldsymbol{x}=\left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {\boldsymbol{x}_{2}} \\ {\boldsymbol{x}_{3}} \\ {\boldsymbol{x}_{4}}\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\left( \begin{array}{cccc}{2} & {a_{0}} & {2} & {-2} \\ {\boldsymbol{a}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{b}} & {\boldsymbol{c}} \\ {\boldsymbol{d}} & {\boldsymbol{e}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{f}} \\ {\boldsymbol{g}} & {\boldsymbol{h}} & {\boldsymbol{k}} & {\boldsymbol{4}}\end{array}\right) a_{0}, a, b, c, d, e, f, g, h, k皆为实数。已知\lambda_1=2是A的一个几何重数为3的特征值。试回答以下问题：
(i)A能否相似于对角矩阵；若能，请给出证明；若不能，请给出例子。
(ii)当a_0=2时，试求f(x_1,x_2,x_3,x_4)在正交变换下的标准型。
三、设n阶实方阵A=\left( \begin{array}{ccccc}{a_{1}} & {b_{1}} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {*} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {*} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {0} \\ {*} & {\ddots} & {\ddots} & {\ddots} & {b_{n-1}} \\ {*} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {a_{n}}\end{array}\right)有n个线性无关的特征向量，b_1,\ldots,b_{n-1}均不为0，记W=\{X\in\mathbb{R}^{n\times n}|XA=AX\}证明：W是实数域\mathbb{R}上的向量空间，且I,A,\ldots,A^{n-1}为其一组基，其中I为n阶单位阵。

第六届

一、（1）实二次型2 x_{1} x_{2}-x_{1} x_{3}+5 x_{2} x_{3}的规范型=
（4）A=\left(a_{i j}\right)为n阶实对称矩阵（n>1），rank（A）=n-1，A的每行元素之和均为0.设2，3…，n为A的全部非零特征值。用A_{11}表示A的元素a _{11}所对应的代数余子式.则有A_{11}=____
三、证明题（15分）设\Gamma=\left\{\left( \begin{array}{cc}{z_{1}} & {z_{2}} \\ {-\overline{z_{2}}} & {\overline{z_{1}}}\end{array}\right) | z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}\right\}其中\mathbb{C}表复数域。试证\forall A\in\Gamma
A的Jordan标准形。J_A仍然属于\Gamma；进一步还存在可逆的矩阵P\in\Gamma使得P^{-1} A P=J_{A}

第七届

（1）设\Gamma为形如下列形式的2016阶矩阵全体：矩阵的每行每列只有一个非零元素，且该非零元素为1，则\sum_{A \in \Gamma}|A|=\underline{\mathbf{0}}
（4）若实向量X=（a，b，c）的三个分量a，b，c满足
\left( \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {0} & {c}\end{array}\right)^{2016}=I_{2}则X=（1，0，1）或（-1，0，-1）或（1，t，-1）或（-1，t，1），t=R.
三、设A，B为n阶实对称矩阵。证明：\operatorname{tr}\left((A B)^{2}\right) \leq \operatorname{tr}\left(A^{2} B^{2}\right)

第八届

一、设x^{4}+3 x^{2}+2 x+1=0的4个根为\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}，则\left| \begin{array}{cccc}{\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} & {\alpha_{3}} & {\alpha_{4}} \\ {\alpha_{2}} & {\alpha_{3}} & {\alpha_{4}} & {\alpha_{1}} \\ {\alpha_{3}} & {\alpha_{4}} & {\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} \\ {\alpha_{4}} & {\alpha_{1}} & {\alpha_{2}} & {\alpha_{3}}\end{array}\right|=
(4)记两个特征值为1,2的2阶实对称矩阵的全体为\Gamma \forall A \in \Gamma, a_{12}表示A的(2,1)位置元素，则集合\cup_{A \in \Gamma}\left\{a_{21}\right\}的最小元等于
三、设n阶方阵A,B满足秩(ABA)=秩(B)。证明：AB与BA相似

第九届

（1）设实方阵H_{1}=\left( \begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right)， H_{n+1}=\left( \begin{array}{cc}{H_{n}} & {I} \\ {I} & {H_{n}}\end{array}\right), n \geq 1其中I是与H_n同阶的单位方阵。则rank(H_4)=
(4)设二次型f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) A \left( \begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {\vdots} \\ {x_{n}}\end{array}\right)的矩阵A为\left( \begin{array}{ccccc}{1} & {a} & {a} & {\cdots} & {a} \\ {a} & {1} & {a} & {\cdots} & {a} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a} & {\cdots} & {a} & {1} & {a} \\ {a} & {a} & {\cdots} & {a} & {1}\end{array}\right)其中n>1,a\in \mathbb{R}，则f在正交变换下的标准形为_____
三、设A,B,C均为n阶复方阵，且满足A B-B A=C, \quad A C=C A, \quad B C=C B
1.证明：C是幂零方阵；
2.证明：A,B,C同时相似于上三角阵
3.若C\not=0求n最小值

上一篇 下一篇

猜你喜欢

热点阅读