一起来学统计学——概念(概率)

2019-06-04 本文已影响0人三点水滴

概率

概率的定义要求任何概率必须同时满足以下单个条件：

非负性： $0 <= p(A) <=1$
规范性： $P(\Omega) = 1$
可数可加性：

对可数个两两互斥事件 ${A_i}$ ， $i\in\mathbb{Z}$ (自然数)，有

$\sum^{\infty}_{i = 1}{P(A_i)}=P(\cup^{\infty}_{i=1}A_i)$

即任一事件的概率必须大于等于0且小于等于1；

样本空间的概率为1；

互斥事件的和的概率等于互斥事件概率的和。

主观概率可以理解为一种心态或者倾向性，它不是建立在坚实的基础上，并因此为人们所公认的。

设一个试验有 $N$ 个等可能的结果，而事件 $E$ 恰好包括其中的 $M$ 个结果，那么事件 $E$ 的概率定义为:

$P(E)={\frac{M}{N}}$

统计定义的思想是：重复大量进行试验，用事件出现的频率，来估计事件的概率。

假设进行了 $n$ 次试验，其中事件 $E$ 出现了 $m$ 次，那么可以事件 $E$ 的概率等于其出现的频率，即
$P(E)={\frac{m}{n}}$

在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为：

$P(A|B)={\frac{P(AB)}{P(B)}}$

相互独立是指事件的发生与否不受其他事件的影响。一般用条件概率来定义：

$P(A|B)={\frac{P(AB)}{P(B)}}=P(A)$

即在B发生的条件下A发生的概率与A发生的概率相等，这时就说A独立于B。

根据条件概率公式

$P(A|B)={\frac{P(AB)}{P(B)}}$

有 $P(AB)=P(A|B)P(B)$

类似的有 $P(AB)=P(B|A)P(A)$

联立可得：

$P(A|B)={\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}}$