丹洋小讲堂——解惑篇

文章转自简书River鲁丹洋   鲁丹洋

编者按：

丹洋上周的两篇小论文引起了“轩然大波”，贞元学校的数学老师们给予了点评，且给出了中肯的建议。初中的大姐姐提出了疑惑，并与小作者进行了长时间的讨论切磋。江子校长也给出了点评。听丹洋爸爸说，丹洋本来因为自己的小论文连续两次登上了学校公众号而洋洋得意时，突然看到大家“那么多”建议，内心一下子低沉了，说道，“我以为我写的论文特别棒，原来还有这么多问题呀。”天呢，正当宋宋老师因为这场“轩然大波”兴奋时，丹洋竟然失落了。好吧，成人的世界与孩子的世界果然与众不同。一个电话打过去，“亲，听说你失落了，为什么呀？你应该感到高兴呀，你的一篇论文竟然有那么多读者愿意去看，且愿意与你讨论，这样，你可以再丰富你的论文呀”。就这样，又有了今天的这篇“解惑小论文”。

上次我写了一篇关于“分数乘法”的论文，很多人提出了不同的观点和建议，今天我将在这里跟大家继续交流我的想法。

首先是一个初中的姐姐提出的问题。她说，我用字母表示分数乘法分“法则”要想表示其普遍性，应该加一个前提条件，结果必须是一个最简分数，就比如两个分数相乘得到的结果不是一个最简分数，那么就要约分。

初中姐姐与她的数学老师的讨论

但是我现在所说的这个公式，只不过就是你遇到了分数乘法问题，如何去计算它，也就是算理，并没有追究其结果到底要不要化成最简分数。所以，我认为并不需要加前提条件。但如果她这个问题脱离这个情境，也是非常有价值讨论的。两个分数，原本是互致的，相乘之后的结果一定还是一个最简分数吗？那可就不一定了。就比如五分之三乘十一分之十就不是一个最简分数，必须要约分。我特别敬佩这位小姐姐，她会因为一个问题，加我微信，与我讨论她的观点：

我与小姐姐的讨论

其次，是一位老师提出的建议，他说可以利用乘法分配律来证明这个定律，这又是一种新方法。

黄老师在宋宋老师朋友圈的留言

首先，让我们看一下整数乘分数。我发现了一个规律，如下：

我发现一个数除一个数，就等于乘以这个数几分之一。这个规律应该可以帮助我解答后面的疑问。

我们可以用运算律解答整数乘分数的计算过程，具体步骤如下：

让我们一步一步来看。首先，我根据分数和除法的关系，把a分之b转化成了b除以a。接下来根据刚才我发现的那个规律，把b除以a转化成了b 乘以a分之一，然后再乘以c。这个时候就变成一个连乘的算式，可以利用乘法交换律，先计算b乘以c，最后再乘以a分之一。接下来再逆过来利用，刚才我们发现的那个规律，一个数乘几分之一，就等于除那个数。所以最好可以再把它转化成bc÷a。最后我们再利用分数与除法的关系，把这个除法算式转化成，a分之b×c，再把这个结果和原式相对比，我发现果然就是分子乘那个整数，分母不变。

 接下来再让我们看一下分数乘分数，这下就简单了，因为它的方法是基于上面而得到的。首先，让我们先把它转化成字母式子。也就是a分之b乘c分之d。具体步骤如下：

还是让我们一步一步来看。首先，我根据分数和除法的关系，分别把a分之b和c分之d转化成了b除以a和d除以c。接下来我再利用刚才我们发现的规律把b除以a转化成b乘以a分之一，把d除c转化成d乘c分之一。这个时候它是一道连乘的算式，因此我们可以使用乘法交换律。把b和d放在一起，把a分之一和c分之一放在一起。然后我再逆过来利用刚才发现的规律。一个数乘以几分之一，就是除以那个数。这时再根据分数和除法的关系，把这个除法算式转化成分数，也就是c×a分之b×d最后，再把结果与原式子相比，果然是分子乘分子做分子，分母乘分母做分母。

第三个问题是王校提出来的。看能不能把分数乘法的“法则”，用图形语言表示出来。

但是在这里我有一个问题，如果是普遍适用，那分成的份数怎么表示呢？也就是说，这个分数的分母怎么表示？而且它取的份数怎么表示？也就是分子。它是随意分成份数，随意取的份数。这可怎么办？所以我只能把这个问题再回问给王校。目前我能画出来的图，也就是这样。

首先表示一下a分之b，就是先把一个整体，平均分成a份，取其中的b份。然后再画出c分之d，把一个整体现平均分成c份，取其中d份。然后再把它们相乘。可以理解为c分之d的a分之b。首先先画出c分之d，然后把c分之d平均分成a份，取其中b份。但感觉这样用字母来表示，也不太恰当。后来我询问了一下王校，得知原来思路没有问题，理解都是对的。但是他说表达的方式可以更加科学直观。把a分之b横着用线条表示，c分之d竖着来表示。于是我画出了这幅图：

给王校看了之后，他很满意。这样画出来果然更加直观。看来问题也没有我想象的那么难，但因为是校长问出来的问题，所以我感觉不会太简单，要考虑一系列问题。但如果是同学问出来的，那就不一样了！