Optimization Landscape and Expre

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Nguyen Q C, Hein M. Optimization Landscape and Expressivity of Deep CNNs[J]. arXiv: Learning, 2017.

BibTex

@article{nguyen2017optimization,
title={Optimization Landscape and Expressivity of Deep CNNs},
author={Nguyen, Quynh C and Hein, Matthias},
journal={arXiv: Learning},
year={2017}}

引

这篇文章，主要证明，在某些不算很强的假设下，CNN的最后的损失(文中是MSE)能够达到零，而且能够满足其的网络参数的无穷多的. 另外，还有"局部"最优解都是全局最优解的特性. 证明主要用到了勒贝格积分的知识(实际上，这一部分应该算在另一篇论文上，没去看），以及更多的代数的知识.

主要内容

基本的一些定义

$X=[x_1, \ldots, x_N]^T \in \R^{N \times d}$ 为输入的N个样本，而 $Y=[y_1, \ldots, y_N]^T \in \R^{N \times m}$ 为对应的N个标签.

假设网络共有 $L$ 层， $n_k$ 为第 $k=0, 1, \ldots, L$ 层的宽度，也即神经元的个数. 用 $f_k: \R^d \rightarrow \R^{n_k}$ 表示由样本 $x$ 到第 $k$ 层的输出的映射.

patches: 我们将每一层的神经元分成若干份，每一份的长度相同，且是包含所有神经元，并且没有俩个patch是完全相同的. 假设，每一层被分成 $P_k$ 份，长度为 $l_k$ . 则，可以表示为
$\left \{ \begin{array}{ll} \{x^1, \ldots, x^{P_0}\} \subset \R^{l_0}, & k=0, \\ \{f_k^1(x), \ldots, f_k^{P_k}(x)\} \subset \R^{l_k}, & k = 1, 2, \ldots, L-1. \end{array} \right.$

filter: 假设每一层有 $T_k$ 个filters，则 $W_k = [w_k^1, \ldots,w_k^{T_k}] \in \R^{l_{k-1} \times T_k}, 1 \le k < L$ . 容易知道 $n_k=P_{k-1}T_k$ , 并假设第k层的偏执为 $b_k \in \R^{n_k}$ . 如果是全连接层，很明显， $n_k=T_k$ .

激活函数: 用 $\sigma_k$ 表示第 $k$ 层的激活函数, entry-wise.

卷积层

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其中.

上面的定义可以这么理解，先拿出第一个patch，用所有的filters操作一遍，并加上偏置，再通过激活函数为最后的输出，然后再拿下一个patch... 一般的卷积层，其实就是相当先分patch，再利用卷积核处理，当然这里可能存在一个排序的问题，但是作者证明的结论的过程中不需要排序.

全连接层

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池化层

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改写卷积层

为了更形象的表示，作者弄了一个线性映射 $\mathcal{M}_k: \R^{l_{k-1} \times T_k} \rightarrow \R^{n_{k-1} \times n_k}$ . 看如下的例子:

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其中:

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, 也就是说，输入是5维的向量，卷积核是3维的，滑动为1. 相当于把扩充至，且只有所作用的patch的对应位置不为0. 这样就能用一种全连接层的是视角去看待了，而全连接层的. 所以，我们不需要再管patch了，来了一个输入，只需，然后进行加偏执和激活函数的操作即可，具体如下:

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其中. 定义:

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则:

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定义损失函数:

假设2.4

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对于第k个卷积层，存在使得是满秩的. 并且从下面的话中可以发现，只要patches满足之前讲的那些假设，那么这个假设便能够成立. 问题是，我不知道这个假设如何证明.

引理2.5

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引理2.5告诉我们，让 $U_k$ 满秩的 $W_k$ 不仅存在，而且很多，多到让 $U_k$ 不满秩的 $W_k$ 的勒贝格测度为0. 也就是随便走两步都能满足假设.

假设3.1

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这个假设看似很强，但是作者指出，可以通过对样本添加一个噪声来满足.

假设3.2

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激活函数是连续非常数，且有一些极限性质.

引理3.3

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ReLU, Sigmoid, Softplus等一些常见的激活函数都是满足上面的假设的.

定理3.4

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注意, 条件1是第一层和第k层为卷积或者全连接层. 满足这些条件，则有 $\{f_k(x_1), \ldots, f_k(x_N)\}$ 线性独立，也即 $F_k$ 满秩.

定理3.5

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注意，这里的条件1是第一层到第k层均为全连接层或卷积层. 则令不满秩的网络参数的勒贝格测度为0，也就是说，满秩是平凡的.

推论3.6

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也就是说，我们能够找到网络参数，满足训练0误差.

假设4.1

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注意，这里假设整个网络不包括池化层，且最后的输出层是全连接层.

并定义:

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引理4.2

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关于解析函数，这是复变函数里的东西，不同的版本有出入，

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至少是无穷次可导的, 所以ReLU自然不列入考虑范围之内.

引理4.2说明 $F_k, U_{k+2}, \ldots, U_L$ 满秩是很容易满足的.

引理4.3

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定理4.4

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定理4.4告诉我们，中的所有的驻点(关于)都是最小值点.

定理4.5

作者考虑一个具体的分类问题，则CNN最后的输出应该为 $Z \in \R^{m \times m}$ ，即有m类，如果样本 $x_i$ 属于第j类，则 $Y$ 的第i行为 $Z$ 的第j行. 所以，一般情况下， $Z$ 为单位矩阵？

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注意第层为全连接层.

Proof

引理A.1

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实解析函数，如果不恒为0，则 $\{x \in \R^n| f(x)=0\}$ 的勒贝格测度为0，也就是几乎处处不为0呗.

引理2.5 证明

$U_k = \mathcal{M}_k (W_k) \in \R^{n_{k-1} \times n_k}$ , 因为 $\mathcal{M_k}$ 是一个线性映射，所以 $U_k$ 的每一个元素都是 $W_k$ 的一个线性函数的像. 又 $U_k$ 的每一个 $m \times m, m = \min \{n_{k-1}, n_k\}$ 行列式是一个多项式函数，所以是解析函数，而解析函数的复合依旧是解析函数，所以每一个行列式都是关于 $W_k$ 的一个解析函数. 而根据假设2.4，我们知道，存在一行列式不恒等于0，所以根据引理A.1，引理2.5可得.

引理3.3

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定理3.4

引理D.1

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就是，我们能找到一些网络参数，使得不同的样本的各元素不同.

证明： 这个证明可以通过归纳法证明，只要我们找到 $W_1, b_1$ 使得 $f_1^p(x_i) \not = f_1^q(x_j)$ 成立，后面的结果也就可类似推导成立了. 且因为全连接层是卷积层的一个特例，所以只需证明是卷积层的时候成立即可.

用 $Q=[a^1, \ldots, a^{T_1}] \in \R^{l_0 \times T_1}$ 表示，其中每一列都是一个filters. 定义:

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显然，属于的元素，要么使得不满秩，要么使得有俩个元素相同，则其补集一定满足引理D.1的结论. 所以我们只要证明这个补集不是空集即可.

根据假设3.1， $x_i^p \not = x_j^q, i \not = j$ , 所以 $\langle a^t, x_i^p \rangle-\langle a^{t'},x_j^q \rangle=0$ 是一个超平面，显然，其测度为0，而有限个这样的超平面的并依旧是零测集，所以 $S$ 的后半部分的测度为0. 而前半部分，根据引理2.5可知，其测度也为0，所以 $S$ 的测度也为0.

如果，我们证明 $g$ 穿过激活函数依旧保持那些性质的话，关于卷积层和全连接层的证明就结束了.

既然 $\sigma_1$ 是个连续的非常数函数，那么存在一个区间 $(\mu_1, \mu_2)$ 使得 $\sigma_1$ 在其上存在双射（这个存疑，不是有一个处处连续但处处不可导的函数吗，那个也能满足？）.

我们先固定 $Q \in \R^{l_0 \times T_1} \setminus S$ , 令 $\beta \in (\mu_1, \mu_2)$ . 并令 $\alpha >0$ 以及 $W_1 = \alpha Q, (b_1)_h=\beta.$

既然 $\beta \in (\mu_1, \mu_2)$ , 我们只需要选择足够小的 $\alpha$ , 就能满足 $\alpha \langle a, x_i^p \rangle+ \beta \in (\mu_1, \mu_2)$ .

对于任意的 $h,v, h=(p-1)T_1+t, v=(q-1)T_1+t'$ ,

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对于任意的以及足够小的(注意，因为对于足够小的, 单调，所以若为0，则需要原像相同，而这由的选择保证不可能).
于是:

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实际上，结果还要更加强一些.

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最后只要再证明对池化层也成立即可.

假设对前 $k$ 层都成立，第 $k+1$ 层为池化层. 于是 $n_{k+1}=P_{k}$ , 且对于 $p \in [P_k]$ :

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既然(8)成立，所以, 自然，其最大值也不同，即

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所以，结论对于池化层也成立.

定理3.4的证明, 仅说明其证明思路. 根据引理D.1，我们可以找到网络参数，使得第 $k-1$ 层满足: $f_{k-1}^p(x_i) \not = f_{k-1}^q(x_j), i \not = j$ . 所以，接下来，只要找到 $W_k, b_k$ 使得最后的 $A:=F_k \in \R^{N \times n_k}$ 满秩就可以了.

先定义 $Q=[a^1, a^2, \ldots, a^{T_k}] \in \R^{l_{k-1} \times T_k}$ 以及:

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和引理D.1的证明类似， $S$ 的测度为0， $Q$ 的列可以取到 $\R^{l_{k-1}} \setminus S$ ，并且满足 $\mathcal{M_k}(Q)$ 满秩（因为满秩的集合测度不为0）.

既然激活函数 $\sigma_k$ 连续非常数，一定存在 $\beta, \sigma_k(\beta) \not = 0$ . 则定义 $W_k = [w_k^1, \ldots, w_k^{T_k}]$ 和偏执 $b_k$ , 且有:

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相应的，有

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我们可以调整 $x_i,x_j$ 的顺序，使得下列式子满足:
$\langle a^t, f_{k-1}^p(x_i) -f_{k-1}^p(x_j) \rangle < 0, i<j.$

接下来，根据对激活函数的假设(假设3.2)，可以分成俩种情况来证明:

首先是

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不妨设, 则

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所以收敛到最后是一个上三角矩阵. 再看一般的的前N行N列(我们只要证明这个行列不为0，则就满秩).

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这个分解，就是最开始的行列式的定义，取不同行不同列的乘积的和(还有相应的符号). 易知:

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对于, 就是的序. 所以.

既然行列式关于 $\alpha$ 的连续函数，一定存在足够小的 $\alpha$ 使得行列式不为0，即 $A(\alpha)$ 满秩, 这样， $W_k, b_k$ 就找到了. $\mu_+=0$ 的证明是类似的.

另一种情况是:

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其证明也是类似的，只是取充分大的.

定理3.5

定理3.5的条件更强，能够保证 $f_k$ 是关于 $W_l,b_l$ 的一个解析函数，那么 $F_k = [f_k(x_1), \ldots, f_k(x_N)]^T \in \R^{N \times n_k}$ 的 $N \times N$ 的子矩阵的行列式也为解析函数，既然我们以及找到了这样的 $W_l,b_l$ 使得某个子矩阵的行列式不为0，根据引理A.1可知，令 $F_k$ 不满秩的 $W_l, b_l$ 的参数的集合的测度为0.

推论3.6

既然，我们能够找到参数 $(W_l, b_l)_{l=1}^{L-1}$ 使得 $rank(F_{L-1})=N$ , 我们的任务就是找一个 $\lambda \in \R^{n_{L-1}}$ 使得 $F_{L-1}\lambda=F_L$ , 显然
$\lambda = F^T_{L-1} (F_{L-1}F_{L-1}^T)^{-1}y,$
满足这个条件.

引理4.2

$S_k = \{(W_l, b_l)_{l=1}^L | F_k, U_{k+2}, \ldots, U_L满秩\}.$
显然:

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其中表全集.

后面的第一部分根据定理3.5可知测度为0，第二部分根据引理2.5可知测度亦为0，所以后面的部分测度为0. 所以 $\mathcal{P} \setminus S_k$ 的测度自然也为0.

引理4.3

首先，介绍一下 Hadamard product (阿达玛积), $\circ$ ,
$(A \circ B)_{ij} = A_{ij} B_{ij},$
即矩阵对应元素相乘，当然这要求 $A, B$ 行列相同. 阿达玛积满足交换律，结合律:
$A \circ B = B \circ A, \\ A \circ (B \circ C) = A \circ B \circ C, \\ A \circ (B + C) = A \circ B + A \circ C.$

另外, $(A \circ B)^T = A^T \circ B^T$ 是显然的，以及
$\begin{array}{ll} \mathbf{Tr}(A \cdot (B \circ C)) & = |A^T \circ B \circ C| \\ &= \mathbf{Tr}(A^T \circ B \cdot C^T) \\ & = \mathbf{Tr}(A \circ B^T \cdot C). \end{array}$

再证明引理4.3之前，我们需要先推导出损失函数与 $U$ 的梯度关系，我们先整理一下:
损失函数:
$\Phi = \frac{1}{2} \|F_L-Y\|_F$
第 $L$ 层为全连接层，所以:
$F_L = G_L=F_{L-1}U_L + \mathbf{1}_N b_L^T \in \R^{N \times n_L}.$
$G_k = F_{k-1}U_k + \mathbf{1}_N b_k^T \in \R^{N \times n_k}, \\ F_k = \sigma_k(G_k) \in \R^{N \times n_k}, \\ k = 1, 2, \ldots, L-1.$
$U_k \in \R^{n_{k-1} \times n_k}, k =1,2,\ldots,L.$

定义 $\Delta_k$ , 其中的(i, j)元素为 $\partial \Phi/ \partial (G_{k})_{ij}$ .

$\begin{array}{ll} \mathrm{d} \Phi & = \mathbf{Tr}((F_L-Y)^T\mathrm{d}F_L) = \mathbf{Tr}((F_L-Y)^T\mathrm{d}G_L) \\ & = \mathbf{Tr}(\Delta_L^T \mathrm{d}G_L) = \mathbf{Tr}(\Delta_L^T(\mathrm{d}F_{L-1})U_L+\Delta_L^T F_{L-1} \mathrm{d} U_L) \\ &= \mathbf{Tr}(\Delta_L^T F_{L-1} \mathrm{d} U_L) + \mathbf{Tr}(U_L\Delta_L^T\mathrm{d}\sigma_{L-1}(G_{L-1})) \\ &=\mathbf{Tr}(\Delta_L^T F_{L-1} \mathrm{d} U_L) + \mathbf{Tr}(U_L\Delta_L^T\sigma_{L-1}'(G_{L-1}) \circ \mathrm{d}G_{L-1}) \\ &=\mathbf{Tr}(\Delta_L^T F_{L-1} \mathrm{d} U_L) + \mathbf{Tr}(U_L\Delta_L^T \circ {\sigma_{L-1}'}^T \cdot\mathrm{d}G_{L-1}) \end{array}$
所以:
$\Delta_L = F_L-Y, \\ \Delta_{L-1} = \Delta_LU_L^ T \circ {\sigma_{L-1}'}(G_{L-1}), \\ \nabla_{U_L} \Phi = F_{L-1}^T \Delta_L.$

类似可证明:
$\Delta_l = \Delta_{l+1} U_{l+1}^T \circ \sigma_{l}' (G_l), \quad k+1 \le l \le L-1, \\ \nabla_{U_l} \Phi = F_{l-1}^T \Delta_l, \quad k+1 \le l \le L.$

再引入俩个引理，比较简单便不给出证明了.

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我们已经知道 $\nabla_{U_{k+1}} \Phi = F_k^T \Delta_{k+1}$ , 并用 $\otimes$ 表示克罗内克积, 有

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故

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上界的证明是类似的，

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定理4.5

定理4.5前半部分的证明，既然第k+1层为全连接层，对于驻点，我们有 $\Delta_{W_{k+1}} \Phi = 0 = \nabla_{U_{k+1}} \Phi$ ，再根据定理4.4即可证明.

后半部分的证明，首先，我们证明我们能够找到 $W_{k+1}$ 使得 $F_{k+1}$ 的秩为 $m$ , 且对应相同标签的样本，比如样本i, j对应同一个标签，那么 $F_{k+1}$ 的第i,j行是相同的. 在k+1层之前，我们可以找到 $\{W_l， b_l\}_{l=1}^k$ 使得 $range(F_k)=N$ .

Case1:k=L-1

那么 $rank(F_{L-1})=N$ , 直接令 $W_L=F_{L-1}^T(F_{L-1}F_{L-1}^T)^{-1}Z$ 就能使得 $\Phi=0$ , 且 $W_L$ 满秩.

Case2: k=L-2
那么 $rank(F_{L-2})=N$ , 令 $A\in \R^{m \times n_{L-1}}$ 为行满秩矩阵，且 $A_{ij}\in range(\sigma_{L-1})$ . 再定义 $D \in \R^{N \times n_{L-1}}$ , 并且
$D_{i:}=A_{j:},$
如果第i个样本的标签为j. $D_{i:}$ 表示 $D$ 的第i行.
只需要令 $W_{L-1}=F_{L-2}^T(F_{L-2}F_{L-2}^T)^{-1}\sigma_{L-1}^{-1}(D)$ , 于是
$F_{L-1} = \sigma_{L-1}(F_{L-2}W_{L-1}+\mathbf{1}_Nb_{L-1}^T)=D,$
其中令 $b_{L-1}=0$ .
接着，我们只需要令
$W_L = A^T(AA^T)^{-1}Z,$
便能得到 $\Phi=0$ .
注意， $W_{L-1}$ 并非满秩的.

Case 3: $k \le L-3$

类似的，取 $E\in \R^{m \times n_{k+1}}$ , 且 $E$ 的元素无一相同, $E_{ij} \in range(\sigma_{k+1})$ .
定义 $D \in \R^{N \times n_{k+1}}$ :
$D_{i:} = E_{j:},$
如果样本i标签为j.

构建
$W_{k+1} = F_k^T(F_kF_k^T)^{-1} \sigma_{k+1}^{-1} (D),$
取 $b_{k+1}=0$ , 则 $F_{k+1}=\sigma_{k+1}(F_kW_{k+1}+\mathbf{1_N}b_{k+1}^T)=D$ , 于是我们的目的也达到了.

此时，把 $k+1$ 到 $L$ 看成一个新的网络，我们相当于输入 $m$ 个样本，我们只要构建 $\{W_l\}_{l=k+2}^L$ 使得 $\Phi=0$ , 根据Case 1可知，只要在第L-1层保持满秩即可.

首先，因为 $E$ 的各元素都不同，所以 $F_{k+1}$ 的各元素亦不同，这就满足了假设3.1;
其次， $k+1$ 到 $L-1$ 都是卷积层和全连接层；
第L-1层的宽度大于样本个数m，这个来源于假设4.1的金字塔型的结构；
激活函数满足假设3.2.

所以，根据定理3.4，我们可以知道，存在 $\{W_l\}_{l=k+2}^L$ 能够使得L-1层满秩，而且这样的参数是很多很多的.

最后选择 $W_L=F_{L-1}^T(F_{L-1}F_{L-1}^T)^{-1}Z$ 即可. $(W_l, b_l)_{l=1}^L \in S_k$ .

Optimization Landscape and Expre

引

主要内容

基本的一些定义

卷积层

全连接层

池化层

改写卷积层

假设2.4

引理2.5

假设3.1

假设3.2

引理3.3

定理3.4

定理3.5

推论3.6

假设4.1

引理4.2

引理4.3

定理4.4

定理4.5

Proof

引理A.1

引理2.5 证明

引理3.3

定理3.4

引理D.1

定理3.5

推论3.6

引理4.2

引理4.3

定理4.5

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