五次方程：有没有求根公式？

一般的五次方程是否有通用的根式求解？

这本质上涉及的是数学史上最古老也最自然的一个问题：求一元多次方程的根。

早在古巴比伦时期，人们就会解二次方程。任何二次方程 ，现在我们会熟稔地运用其求根公式 进行求解。而三次方程和四次方程的求解，直到 16世纪中期才被解决，中间跨越了三千多年的悠悠岁月，最后在塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等数学大师的明争暗斗下，三次方程求解公式——卡尔达诺公式诞生。四次方程的求解则比人们预想的要快得多，费拉里十分机智地学会了师傅卡尔达诺的三次方程根式解法，巧用降阶法获得四次方程的根式解法。对此，数学家们野心膨胀，开始相信所有的一元多次方程都能找到相应的求解公式。

然而，就当所有人都认为五次方程的解法会接踵而至时，之后的两百多年间却只有寂静。

最先为五次方程求解提供新思路的是数学界的“独眼巨人”欧拉，他把任何一个全系数的五次方程转化的形式。欧拉自认为可以找出五次方程的通解公式，最终却一无所获。

与此同时，数学天才拉格朗日也在废寝忘食地寻找五次方程的通解公式。借鉴费拉里将四次方程降阶为三次方程的历史经验，他如法炮制。遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为了六次方程。

自此，数学家的脚步被五次方程这一关卡死死拦住，寻找一元多次方程通解公式的进展一度陷入迷局。而有关多次方程的争论，当时主要集中在了如下两大问题上。

（1）对 N 次方程，至少都有一个解吗？

（2）N  次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？

数学王子高斯出马了。1799 年，他证明了每个N次方程都有且仅有 N个解。于是，他推论出五次方程必然有五个解，但这些解都可以通过公式表达出来吗？

拨开迷雾之后，这个难题仍然浮现在人们眼前，五次方程究竟是否有通解公式的疑问依旧困扰着人类，挥之不去。

1824 年，阿贝尔发表了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，首次完整地给出了一般的五次方程用根式不可解的证明，这是人类第一次真正触碰到五次方程求解的真谛。面对这个来自北欧的无名小子，数学家们纷纷摇头，根本不相信这个难题能就此被解答。柯西收到论文后，将此弃之一旁，随意地丢进了办公桌的某个抽屉里；高斯则在轻轻扫了一眼后，只留下一句“这又是哪种怪物”的评论。

尽管这位稀有的天才最终沉疴缠身，因病去世，他的论文却成功揭示了高次方程与低次方程的不同，证明了五次代数方程通用的求根公式是不存在的。阿贝尔的这一证明使数学从此挣脱了方程求解和根式通解的思想束缚，颠覆性地提出，一个通过方程系数的加减乘除和开方来统一表达的根式，并不能用来求解一般的五次方程。

可如何区分、判定哪些方程的解可以用简单的代数公式（系数根式）来表达，哪些方程又不能呢？这一问题，阿贝尔并没有给出完美的答案。直到伽罗瓦横空出世，高次方程的求解才真正坠落凡尘。