空间内一点到超平面的距离推广公式

2023-02-16  本文已影响0人  倪桦

超平面 与 法向量

超平面(H,Hyperplane) 是二维平面中直线、三维空间中平面对象的推广形式，本质是n维空间的一个子空间，满足向量加法与乘法的封闭。空间中的平面都可以被平面上任意一点x_0及与平面内任意向量所垂直的平面法向量\vec w所确定：

定义空间内一超平面为 H
在平面上确定一点 x_0，就有平面上其它任意点x 与x_0所成向量 \vec {x_0x} 与垂直于法线 :
\vec {x_0x} \cdot \vec w = 0 \rightarrow (\vec x - \vec x_0)\cdot \vec w = 0
\therefore \vec {x_0x} \cdot \vec w = \vec w^T\vec x - \vec w^T\vec x_0 = 0

由于 x_0 为提前确定的平面内一点，则有 \frac {\vec w^T\vec x_0}{\|\vec w\|} 计算了空间原点O与x_0 所成向量到平面法向量的投影长度，实质上描述了 平面H 偏离空间原点的距离 ，这个偏移量描述一般描述为 b = - \frac {\vec w^T\vec x_0}{\|\vec w\|}\cdot \|\vec w\|的形式。当 b = 0 时意味着超平面未发生偏移，过空间原点O。
这样根据平面内一点和法向量确立的平面的约束方程称为 点法式超平面方程:
w^Tx + b= 0

点到超平面距离

对于空间上的任意点 X 到 w 所定义的超平面H的距离 d 就有等于向量\vec {OX} 在平面法向量上的投影距离 \frac {wX}{\|w\|} 减去平面相对原点的偏移量\frac {-b}{\|w\|},即：

d(X \rightarrow H) = |\frac {wX}{\|w\|} - \frac {-b}{\|w\|}| = \frac {|wX+b|}{\|w\|}
如在简单二维空间内，平面上的一点 (x_1,y_1) 到直线形式的超平面对象 Ax + By +C = 0 的距离就可以描述为 d = \frac {|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt {A^2 + B^2}}

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