集合

集合

描述：满足某种属性的对象的全体。集合的研究对象叫元素
集合特性：确定性、无序性、互异性
集合表示A、B、C（大写）
结合表示a、b、c（小写）
集合与元素关系：
a∈A 元素a属于集合A
a∉A 元素a属于不集合A
有限集、无限集、空集φ
单元素集{x|(1,2)}，{}，{0}，{φ}

数据常用表示符号

• N 自然数集（包含0在内）
• N* 正自然数集
• P 素数集
• Q 有理数集
• R 实数集
• Z 整数集

集合表示

• 列举法
• 描述法
• 图像法（文氏图）
• 区间法 {x|a<x≤b}=(a,b]

集合间的关系

1. 子集:若∀（任意）x∈A都有x∈B，则A⊆B（A是B的子集i，读作A包含于B）
2. 真子集:若∀x∈A都有x∈B，且∃（存在）x₀∈B但x₀∉A。则A⊊B（A是B的真子集，读作A真包含于B）

3. 集相等:∀x∈A都有x∈B，且都有∀x∈B都有x∈A.则A=B
   

   注意：规定φ∈A且φ⊊A（A不为空）
   含n个元素的集合，子集个数为2^n(2的n次方)
   eg：A={a,b} 子集有φ，{a},{b},{a,b}

集合逻辑运算

1. 交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}（实质是AB的公共部分）

• x∈A∩B <=> x∈A且x∈B
• x∉A∩B<=> x∉A或x∉B
• A∩φ=φ。A∩B∈A
• A∩B=A<=>A∈B

2. 并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}(实质是AB凑在一起)

• x∈A∪B <=> x∈A或x∈B
• x∉A∪B<=> x∉A且x∉B
• A∪φ=A。A∪B⊇B⊇A∩B
• A∪B=A=>A∈B

3.全集：（有所考虑的）全部元素所构成的集合。即为U，I
4.补集：∁A={x|x∈U 但x∉A}

image.png

• x∈∁A <=> x∉A(x∈U)
• x∉∁A <=> x∈A
• ∁(∁A)=A, ∁φ=U, ∁U=φ
• A∩∁A=φ, A∪∁A=U