概率论-证明Var((X1+X2+...+Xn)/n)=Var(

2019-11-19  本文已影响0人  江海小流

假设：

  1. X_1, X_2, \cdots, X_n 相互独立，且同分布
  2. Y = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n} {n}
  3. X_i 的期望为 E(X)，方差为 Var(X)

问题：Var(Y) 是否为 \frac {Var(X)} n ？

因为 Var(Y) = E(Y^2) - E^2(Y)，而

  1. E(Y) = E(\frac {X_1 + X_2 + \cdots + X_n} {n}) = \frac {nE(X)} {n} = E(X)
  2. E(Y^2) = \frac 1 {n^2} E(X_1^2 + \cdots + X_n^2 + X_1X_2 + \cdots + X_{n-1}X_n)
    1. 因为Var(X) = E(X^2) - E^2(X) 所以，E(X^2) = Var(X) + E^2(X)
    2. 而 E(Y^2) = \frac 1 n E(X^2) + \frac {n(n-1)} {n^2} E(X)E(X)
    3. 所以 E(Y^2) = \frac 1 n Var(X) + E^2(X)
  3. 因此，Var(Y) = E(Y^2) - E^2(Y) = \frac {Var(X)} n
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