计算机原码、反码、补码详解
注：之前查找了关于原码、反码、补码的相关资料，张子秋的博客：原码, 反码, 补码 详解讲的比较透彻。为了方便，现将其转载至此，版权归原作者所有。更加深入的分析，可以参考作者的原文。
本文大部分内容来源于此。后面有小部分关于“大数溢出”的问题为本人补充。
作者：张子秋
出处：http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/
机器数和真值
机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]，即：
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
反码
反码的表示方法是：正数的反码是其本身；的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算。
补码
补码的表示方法是：正数的补码就是其本身；的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
为何要使用原码, 反码和补码
在开始深入学习前, 我的学习建议是先”死记硬背”上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码。计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码。计算十进制的表达式:
1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反
= [1111 1111]反 = [1000 0000]原
= -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]补 + [1111 1111]补
= [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原
= [1111 1111]补 + [1000 0001]补
= [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
补码表示的溢出问题
以下是本人的补充的理解，不知道是否正确：
由于计算机中的数字用补码表示，例如8bit的byte类型的表示范围为：
[-128, 127]
0 = [0000 0000]（补）
-128 = [1000 0000]（补）
127 = [0111 1111]（补）
当byte类型的变量超上限127时，如：
+128 = -（-128）= 127 + 1
= [1111 1111]（补）+ [0000 0001]（补）
= [1000 0000]（补）
= -128
+129 = 127 + 2
= [1111 1111]（补）+ [0000 0001]（补）
= [1000 0001]（补）
= [1111 1111]（原）
= -127
当byte类型的变量超过下限-128时：
-129 = -128 - 1
= [1000 0000]（补) - [0000 0001]（补）
= [0111 1111]（补）
= 127
-130 = -128 - 2
= [1000 0000]（补) - [0000 0010]（补）
= [0111 1110]（补）
= 126
大数溢出问题
int类型在32位系统中占4个字节、32bit，补码表示的的数据范围为：
[10000000 00000000 00000000 00000000] ~ [01111111 11111111 11111111 11111111]
[−231,231−1]
[-2147483648, 2147483647]
