建立直角坐标系法求最值或取值范围

2020-09-24  本文已影响0人  天马无空

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

方法三 建立直角坐标系法

使用情景：一般向量求最值或取值范围类型

解题步骤：

第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；

第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；

第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即

可.

例3 在\triangle ABC中，O为中线上一个动点，若AM=2，则\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})的最小值是__________.

【解析】以M为原点，AM所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.

设A(0,2)，B(x,y)，O(0,z)，则C(-x,-y)，

\therefore \overrightarrow{OA}=(0,2-z)，\overrightarrow{OB}=(x,y-z)，\overrightarrow{OC}=(-x,-y-z)

\because ，\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(0,-2z)(0\leqslant z \leqslant 2)

\therefore \overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=(2-z)(-2z)=2(z-1)^2-2

故\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})的最小值为-2

【总结】通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.

例4 在Rt\triangle ABC中,BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问\overrightarrow{PQ}与\overrightarrow{BC}的夹角\theta取何值时\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}的值最大?并求出这个最大值.

【答案】

以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系

设\angle CAB=\alpha，\overrightarrow{PQ}与\overrightarrow{AB}的夹角为\beta，则B(a\cos\alpha,0)，C(0,a \sin\alpha)

P(-a\cos \beta,-a \sin \beta)，Q(a\cos \beta,a \sin \beta)

\therefore \overrightarrow{BP}=(-a\cos \beta-a\cos \alpha,-a \sin \beta)，\overrightarrow{CQ}=(a\cos \beta,a \sin \beta -a \sin \alpha)

\therefore \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=-a^2 \cos^2 \beta -a^2 \cos \alpha \cos \beta -a^2 \sin ^2 \beta +a^2 \sin \alpha \sin \beta

=-a^2[1+\cos(\alpha+\beta)]

\therefore当\cos(\alpha+\beta)=-1即\alpha+\beta=\pi(\overrightarrow{PQ}与\overrightarrow{BC}同向)时，\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}的最大值为0.

【总结】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.

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