专题：等价标准型

2019-02-27 本文已影响0人抄书侠

基础概念

设 $r(A)=r$ 则存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $A=P \left( \begin{array}{ll}{E_{r}} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right) Q$

典型例题

例3.5设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵，证明存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=0$
例3.8设 $A \in F^{n \times n}, r(A)=r, A^{2}=A$ 证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P=\left( \begin{array}{cc}{E_{r}} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right)$
例3.9(1)设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $r(A)=r, A^{2}=a A(a \neq 0)$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP= \left( \begin{array}{cc}{a E_{r}} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right)$
(2)设 $n$ 阶方阵 $A=\left( \begin{array}{cccc}{1} & {1} & {\cdots} & {1} \\ {1} & {1} & {\cdots} & {1} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {1} & {1} & {\cdots} & {1}\end{array}\right), B=\left( \begin{array}{cccc}{n} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {0} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {0}\end{array}\right)$ 证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$
例3.10设 $A \in F^{n \times n}, r(A)=r$ 求证 $A^2=A$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的 $n\times r$ 矩阵 $S$ 和秩等于 $r$ 的 $r\times n$ 矩阵 $T$ ，使得 $A=ST,TS=I_r$ 其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵
例3.13设 $A$ 为 $n\times m$ 矩阵， $B$ 为 $m\times n$ 矩阵。证明：
$\lambda^{n}\left|\lambda E_{m}-B A\right|=\lambda^{m}\left|\lambda E_{n}-A B\right|$ (三种方法)

参考文献

http://www.52gd.org/?p=494

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