《几何与代数》数学实验报告完全攻略

标签： 东南大学 15-16-2 MATLAB上机实验

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实验一

利用MATLAB用三种不同的方法求解线性方程组 。其中，常数项列向量 b 的分量是你的学号，系数矩阵为

方法一：利用Cramer法则求解；
方法二：作为矩阵方程求解；
方法三：利用Gauss消元法求解。

方法一

• 使用format short控制浮点数出
• 输入完每一行后加上分号可以取消输出
• 在第3行输入自己的学号

//将代码复制到控制台窗口并修改数据
format short;
b =[0;9;0;1;5;3;?;?];
a1=[1;1;0;0;0;0;0;0];
a2=[1;2;1;0;0;0;0;0];
a3=[0;1;3;1;0;0;0;0];
a4=[0;0;1;4;1;0;0;0];
a5=[0;0;0;1;5;1;0;0];
a6=[0;0;0;0;1;6;1;0];
a7=[0;0;0;0;0;1;7;1];
a8=[0;0;0;0;0;0;1;8];
A =[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8];
A1=[b ,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8];
A2=[a1,b ,a3,a4,a5,a6,a7,a8];
A3=[a1,a2,b ,a4,a5,a6,a7,a8];
A4=[a1,a2,a3,b ,a5,a6,a7,a8];
A5=[a1,a2,a3,a4,b ,a6,a7,a8];
A6=[a1,a2,a3,a4,a5,b ,a7,a8];
A7=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,b ,a8];
A8=[a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,b ];
x1=det(A1)/det(A)
x2=det(A2)/det(A)
x3=det(A3)/det(A)
x4=det(A4)/det(A)
x5=det(A5)/det(A)
x6=det(A6)/det(A)
x7=det(A7)/det(A)
x8=det(A8)/det(A)

以 09015326 为例，结果为

x1 =
  -14.1930
x2 =
   14.1930
x3 =
   -5.1930
x4 =
    1.3861
x5 =
    0.6487
x6 =
    0.3706
x7 =
    0.1279
x8 =
    0.7340

方法二

• MATLAB通常忽视排版
• 使用 shift + enter 可以另起新的一行
• 在第13行输入自己的学号

//将代码复制到控制台窗口并修改数据
format short;
A=  [
    1,1,0,0,0,0,0,0;
    1,2,1,0,0,0,0,0;
    0,1,3,1,0,0,0,0;
    0,0,1,4,1,0,0,0;
    0,0,0,1,5,1,0,0;
    0,0,0,0,1,6,1,0;
    0,0,0,0,0,1,7,1;
    0,0,0,0,0,0,1,8
    ];
b=  [0;9;0;1;5;3;?;?];
X=  inv(A)*b

仍然以 09015326 为例，结果仍为

X =
  -14.1930
   14.1930
   -5.1930
    1.3861
    0.6487
    0.3706
    0.1279
    0.7340

方法三

• 在第13行输入自己的学号

//将代码复制到控制台窗口并修改数据
format short;
A=  [
    1,1,0,0,0,0,0,0;
    1,2,1,0,0,0,0,0;
    0,1,3,1,0,0,0,0;
    0,0,1,4,1,0,0,0;
    0,0,0,1,5,1,0,0;
    0,0,0,0,1,6,1,0;
    0,0,0,0,0,1,7,1;
    0,0,0,0,0,0,1,8
    ];
b=  [0;9;0;1;5;3;?;?];
rref([A,b])

再以 12345678 为例，结果则为

ans =
    1.0000         0         0         0         0         0         0         0    0.6742
         0    1.0000         0         0         0         0         0         0    0.3258
         0         0    1.0000         0         0         0         0         0    0.6742
         0         0         0    1.0000         0         0         0         0    0.6517
         0         0         0         0    1.0000         0         0         0    0.7191
         0         0         0         0         0    1.0000         0         0    0.7529
         0         0         0         0         0         0    1.0000         0    0.7632
         0         0         0         0         0         0         0    1.0000    0.9046

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实验二

eigshow是MATLAB中平面线性变换的演示函数。对于矩阵，键入eigshow()，分别显示不同的单位向量及经变换后的向量 y=A x。用鼠标拖动 x 旋转，可以使 x 产生一个单位圆，并显示 A x 所产生的轨迹。分别对矩阵

考察单位向量 x 变化时，变换后所得向量 y 的轨迹，回答下列问题，并用代数方法解释。

1. x 和 y 会不会在同一直线上？如果 x 和 y 在同一直线上，它们的长度之比是多少？
2. 对哪些矩阵，x 和 y 的转向相同，哪些相反？
3. 你还发现什么有什么规律？
4. 你能用代数知识解释这些现象吗？

• 输入并观察
• 第6至10行应分开输入

//将代码复制到控制台窗口并修改数据
A=[2,0;0,3];
B=[1/2,0;0,1/3];
C=[1,2;2,1];
D=[3,1;2,3];
M=[3,-1;2,3];
//从这里开始一行一行复制并执行，并截图
eigshow(A)
eigshow(B)
eigshow(C)
eigshow(D)
eigshow(M)

实际上，设

那么所得结果等价于参数方程

第一问

eigshow(A) x 和 y 会在一条直线上，长度比为 2 或 3 ；
eigshow(B) x 和 y 会在一条直线上，长度比为 1/2 或 1/3；
eigshow(C) x 和 y 会在一条直线上，长度比为 3 或 1；
eigshow(D) x 和 y 会在一条直线上，长度比为 3+√2 或 3-√2；
eigshow(M) x 和 y 不在一条直线上。

第二问

eigshow(A) x 和 y 转向相同；
eigshow(B) x 和 y 转向相同；
eigshow(C) x 和 y 转向相反；
eigshow(D) x 和 y 转向相同；
eigshow(M) x 和 y 转向相同；

第三问

略

第四问

略