独立样t检验

2020-09-01 本文已影响0人 Mylonely

独立样本T检验——方法原理

设两个组样本量分别为 $n_1和n_2$ ,且均来自于两个正态分布的总体： $X_1 \sim N \left(\mu_1, \sigma_1^2 \right),X_2 \sim N \left(\mu_2, \sigma_2^2 \right)$ ,两样本t检验所建立的假设即

$H_0:\mu_1 = \mu_2 ~ vs ~ H_1:\mu_1 \neq \mu_2$

原假设认为两个组之间的样本均数差异完全来自于抽样误差；备择假设则任务，样本均数确实存在差异

上述 $H_0$ 的假设可以做一个移项变为 $H_0:\mu_1 - \mu_2 = 0$ ，可以看出，此时的假设和单样本 $t$ 检验的假设一致。故而我们做独立样本 $t$ 检验可以认为是通过差值的单样本 $t$ 检验完成的。

差值的度量为 $( \bar{X_1} - \bar{ X_2}) - 0 = \bar{X_1} - \bar{ X_2}$ 服从均值为0，标准差为 $\sqrt{\sigma^2(1/n_1+1/n_2) }$ 的正态分布。据此，将差值进行标准化可得 $\frac{\bar{X_1} - \bar{X_2} }{\sqrt{\sigma^2(1/n_1+1/n_2) }}$ ，由于实际处理过程中 $\sigma^2$ 通常未知，我们用样本差值的标准差来代替从而得到了独立样本t检验的统计量