前言

连续傅里叶变换和离散傅里叶变换经常用于MRI 图像分析之中，第11块主要讲MRI 图像和傅里叶变换的细节，涉及到的特点，尽管这一块主要讲1D 变换，但是，可以很轻松拓展到更高维数据。

在松弛效应不存在的情况下，NMR signal s(k) 就是spin density p(x) 的的傅里叶变换。 对 NMR signal s(k) 施加反傅里叶变换 就可以推导出 一个重建的 空间图像 `p(x) , 此处`表示对 spin density p(x) 的有效估计。为了了解 这种变换，以及这种数值估计所带来的影响，需要先了解一下连续和离散傅里叶变化的基本性质，此篇文章，针对有一定MRI图像分析和信号分析基础的同学，许多性质不会具体数学推导，会直接使用和说明。 许多MRI 图像分析中遇到的artifacts 与 `p(x) 的得到有关，p(x) 的对应的相位幅度图中，又可以引申出相位成像 (phase imaging) 这样的概念出来。 

11.1 核磁共振的图像分析的连续傅里叶变换

傅里叶变换的主要作用是将数据从空间映射到另外一个共轭空间，再通过反傅里叶变换，重新映射回来。将数据或者是函数在不同的空间表征出来，可以有一些非常好的优势和应用。在MRI实例中，1D 成像问题，经常会需要一个傅里叶积分：

在位置空间的spin density 图像p(x) 被映射到相关的k-space 空间频域 s(k)。

此处回忆一下，1D 傅里叶变换和逆变换：

至于 这两个傅里叶变换对的连续性可以使用Dirac delta 函数或者冲激函数来验证。冲激函数函数在位置空间x-space 和 k-space 中有以下的表示方式：

把1D 傅里叶变换放入到反傅里叶变换变换中，得到：

在理想情况下，我们认为信号 s(k) 是无限连续样本，但是由于机器采集等原因，我们有限的采集样本，最后通过插值拟合的方式得到一个估计的信号分布sm(k)。

`p(x) 和 p(x) 的主要区别构成了MRI成像中非常重要的topic： aliasing 处理问题。  

大家可以考虑，2D MRI图像的离散傅里叶变换和反变换。