学习_矩阵对角化和SVD

1.矩阵对角化
矩阵对角化和SVD可以达到特征值分解的目的，特征值分解是将矩阵分解为特征向量和特征值相乘的形式。
对角化如下，对角化对矩阵的要求较高，需要B为对称、正定矩阵

P矩阵要求单位正交，即

对角化可以达到将矩阵分解的目的，A对角线上的值为B矩阵对应的特征值，P可以理解为对应的特征矩阵，推导如下：

λ按照大小顺序进行排列，一般前几个比较大的λ就能很好的逼近B的真实数值，因此达到矩阵分解的目的，矩阵B原始大小为nxn，如上分解之后，最小可以压缩到只保留第一项，其中u1位列向量，因此大小变为n+1。

特征值和特征向量的作用效果，A可以看做是在的反向上延展 倍。

2.SVD（奇异值分解）

SVD是对角化的扩展。一般矩阵A，大小为mxn，不满足上述的对角化分解的要求，需要做个中间的转换，来满足那两个要求：正定、对称，如下

因此可以对进行对角化，有之前的对角化过程可以得出


一个结论，有矩阵B（mxn）和矩阵C（nxm），则BC和CB两个矩阵的大小不同，但是他们的特征值不为零的个数是一样的，在花书中用矩阵的迹来证明该结论。根据此结论，上述对A矩阵的分解，D1和D2中对角上的不为零的特征值的个数是一样的。可得到如下推导得出A的对角分解，特征值λ即为D1或者D2中对角线元素开根号。

SVD可以应用在图像压缩，一张大小为mxn的图像，根据上述对A的分解结果，只取第一个λ的部分，则被压缩后的存储大小为m+n+1。当取前k个λ时，存储大小为k*(m+n+1)，相对于原图的误差为

还可以用在减小矩阵的计算复杂度