《几何原本》导读3|解读第1卷中的公理

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作. 又称《原本》, 它是欧洲数学的基础, 被广泛的认为是历史上最成功的教科书. 在《几何原本》中, 欧几里得使用了公理化的方法. 这一方法后来成了建立任何知识体系的典范, 在差不多二千年间, 被奉为必须遵守的严密思维的范例. 这本著作是欧几里得几何的基础, 在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍.

《几何原本》的第I卷几何基础由23个定义, 5个公设和5个公理以及由定义、公设、公理出发, 通过论证得出的48个命题组成. 本次我们要导读的是5个公理.

公理（Common Notions）和公设一样, 是无需证明即被认为是正确的命题或者陈述, 但公理主要说的是量与量之间的关系.

5个公理

公理 1

Things which equal the same thing also equal one another.

等于同一量的量相等.

公理 2

If equals are added to equals, then the wholes are equal.

等量与等量的和相等.

公理 3

If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.

等量与等量的差相等.

公理 4

Things which coincide with one another equal one another.

彼此重合的物体全等.

公理 5

The whole is greater than the part.

整体大于部分.

导读注解

这5个公理说的都是量与量之间的大小关系, 比如线段的长度、角的大小等. 只有同一种类的量可以比较大小或者相加, 不同种类的量不能相加或者比较大小。比如线段和角度就不能相加或者比较大小.

特别需要说明的是, 公理4所说的全等指的是两个物理通过移动可以完全重合.

对于公理5, 我们需要解释一下大于的含义. 如果 是 与 的和, 我们就说
是 的一部分, 其中 是另一个量的大小. 用数学的语言表示就是, 如果 , 则 , 这里隐含了 这一条件.

《原本》中还使用了很多没有列在公理中的大小关系, 比如：

1. 如果 , 则 或者 .
2. 和 不能同时成立.
3. 如果不是, 则 .
4. 如果 并且 , 则 .
5. 如果 并且 , 则 .
6. 如果 并且 , 则 .
7. 如果 , 则 .
8. 如果不是 , 则 或者 .
9. 如果不是 也不是 , 则 .
10. 如果 , 则 .
11. 如果 , 则 .

上面的第3条其实是逻辑当中的双重否定；第11条是加法的一个特殊情形（注意 其实就是 ）. 第1、8和9条说的是一个内容, 即 、、 至少有一种成立；第2条说的则是上述三种情况只能有一种成立.

现代数学体系中量的关系

在现代数学体系里, 等价关系满足下列三个性质：

1. 反身性: 对任意 , .
2. 对称性: 若 , 则 .
3. 传递性: 若 且 , 则 .

加法满足以下三个性质

1. 如果 , 则 , 并且 .
2. 结合律：对于每个 , 和 , .
3. 交换律：对于每个 , , .

大小关系满足以下性质：

1. 如果 并且 , 则 .
2. 如果 并且 , 则 .
3. 如果 并且 , 则 .
4. 如果 , 则 , 并且 .

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