三.高数常用基础知识（1）

2022-01-13 本文已影响0人傻疯子

1.数列

（1）等差数列

常见形式为: $1+2+\cdots+n=\frac{n(1+n)}{2}$

（2）等比数列

前n项的公式和 $Sn= \begin{cases} na_1,&r=1, \\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & r\neq1. \end{cases}$

常用 $1=r=r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}(r\neq1)$
若 $|r|<1\Rightarrow\sum_{n=1}^n r^{n-1}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1-r}=\frac{1}{1-r}$
记 $\sum_{n=1}^n r^{n-1}=\frac{1}{1-r} \quad |r|<1$

$\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

特别记忆： $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}+=\frac{n}{n+1}$

另如果需要求收敛：先求单调（两项相减）再求界限（为方便计算可根据上下界适当放大或缩小）

2.三角函数

（1）了解三角函数基本关系

（2）诱导公式
常用八种诱导公式：
$sin(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=cos\alpha$
$sin(\pi\pm\alpha)=\mp sin \alpha$
$cos(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\pm sin\alpha$
$cos(\pi\pm\alpha)=- cos \alpha$
可记住口诀：奇变偶不变，符号看象限