基本变换矩阵

2019-12-13 本文已影响0人 sakura_1

$点p = (p_{x}, p_{y},p_{z})$

1 平移变换

平移矩阵 T

$T(t) = T(t_{x}, t_{y}, t_{z}) = \begin{bmatrix} 1&0 &0 &t_{x} \\ 0&1 &0 &t_{y} \\ 0&0 &1 &t_{z} \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}$

平移后的新点
$p^{'} = (p_{x} + t_{x},p_{y} + t_{y} ,p_{z} + t_{z})$

2 旋转矩阵

旋转矩阵用 $R_{x}(\phi)$ 、 $R_{y}(\phi)$ 、 $R_{z}(\phi)$ 分别表示

$R_{x}(\phi) = \begin{bmatrix} 0&1 &0 &0 \\ 0&cos\phi &-sin\phi &0 \\ 0&sin\phi &cos\phi &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}$

$R_{y}(\phi) = \begin{bmatrix} cos\phi&0 &sin\phi &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ -sin\phi&0 &cos\phi &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}$

$R_{z}(\phi) = \begin{bmatrix} cos\phi&-sin\phi &0 &0 \\ sin\phi&cos\phi &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}$

对一个绕任意轴旋转角度 $\phi$ 的 $3*3$ 旋转矩阵 $R$ 来说，其对角元素之和是一个与坐标轴无关的常数，称为迹（Trace）

$R_{i}(\phi) = \begin{bmatrix} \color{red}{c_{1}} &… &… &0 \\ …& \color{red}{c_{2}} &… &0 \\ …&… & \color{red}{c_{3}} &0 \\ 0&0 &0 &\color{red}{1} \end{bmatrix}$

$tr(R) = 1 + 2cos\phi$

旋转矩阵为正交矩阵，因此矩阵 $R$ 的逆矩阵就等于它的装置矩阵，此类变换的任意数量级联也同样成立。此外， $R_{i}^{-1} = R_{i}(-\phi)$ ，也就是绕同一坐标轴相反方向旋转。

绕一点旋转：某个物体绕 $z$ 轴旋转 $\phi$ 度，旋转中心是点 $p$ 。
整个变换过程 $X$ 可用下面的公式表示：

$X = T(p)R_{z}(\phi)T(-p)$

3 缩放变换

缩放矩阵 $S(s) = S(s_{x}, s_{y}, s_{z})$ 可以使物体分别绕 $x、y、z$ 轴以因子 $s_{x}、s_{y}、s_{z}$ 进行放大或缩小。

$S(s) = \begin{bmatrix} 5&0 &0 &0 \\ 0&5 &0 &0 \\ 0&0 &5 &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1/5 \end{bmatrix}$

如果对缩放矩阵 $s$ 的一个或三个分量置负，就会产生一个反射矩阵（Reflective Matrix），或者镜像矩阵（Mirror Matrix）。如果其中两个缩放因子是 $-1$ ，那么将会旋转 $180^{\circ}$ ，反射矩阵将改变顶点序列，导致不正确的光照效果和裁剪。
判定矩阵是否为反射形式，只需计算该矩阵的左上部 $3*3$ 矩阵行列式的值，如果该值为负，那么该矩阵为反射矩阵。

基本变换矩阵

1 平移变换

2 旋转矩阵

3 缩放变换

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