《心中有数》：做到心中有数，你才会事事顺遂，行之有方

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1965年苏联在太平洋周围计划进行洲际导弹试射，许多国家想要破解苏联的军事机密但都无计可施。只有中国数学家华罗庚硬是利用报纸图片上的曲线四边形进行推算演练，破解了军事机密，最终得出了苏联导弹基地具体位置就在乌拉尔山区，为国家作出了巨大的贡献。

华罗庚曾经说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。

马克思说：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

英国思想家培根认为：数学是科学的大门和钥匙。

而常言道：学好数理化，走遍天下都不怕。这里，数学，是排在第一位的，是万学之首。

小到买菜算账、做饭蒸鱼蒸包子；大到人工智能、量子力学核武器研发制造等，就连最平常的上班路线，都要规划成两点之间直线距离最短了。这些看似与数学无关的问题其实都蕴含着深刻的数学思维。

以上是对数学与生活的精彩描述。教学与社会生活相互依存，相互融合，数学问题来源于生活，而生活问题又可用数学知识来解决。只有做到心中有数，你才会事事顺遂，行之有方。

这本《心中有数》提出勤能补拙的大数定律、权衡利弊的稀疏概念、貌合神离的条件独立、精益求精的数值解法、体现中庸之道的最小二乘法……数学公式和算法背后的智慧帮助我们更好地看清这个世界，并在遇到问题时提供更科学的视角，帮助我们做出更好的决策。

《心中有数》教你像电脑的处理器一样，快速、深层地剖析事物的“利与弊”，在接受不完美的前提下，通过数学思维权衡多方的利益，找到最佳的解题点。人生其实就是一个不断寻找最优解的过程，愿你《心中有数》，行之有方。

作者刘雪峰，北京航空航天大学计算机学院副教授，博士生导师。2008年毕业于英国布里斯托大学，获博士学位。知识星球广受欢迎的计算机老师。主要研究方向包括线性代数、信号处理、人工智能等。在国内外期刊和国际会议上发表学术论文70多篇。学术研究成果多次获奖。

维特根斯坦说：“数学是各式各样的证明技巧。”

1、退火

很多人在换工作时，都要求下一份工作的工资比现在更高或更稳定。这种选择看起来很自然，但是如果用数学思维看待，则另有蹊跷—— 有一种金属冷却工艺叫做“退火”。退火通过缓慢降低金属的温度，使金属内部组织达到或接近平衡状态。

在物理学中，“温度”和“随机性”是对应的：温度越高，随机性越强。退火的过程，代表随机性从高到低的衰减。 将模拟退火算法背后的数学思想引入生活当中，我们发现：要求新迈出的每一步都比上一步更好的策略，容易让自己陷入局部最高点：你选择一个工资更高或更稳定的行业，可能会导致你错过另一个虽然现在看起来不太稳定，但是发展潜力巨大的行业。

解决的方法是引入随机性：以一定的概率接受暂时的不完美，就可以有效避免陷入局部最高点。这种随机性对应着去大城市闯一闯，尝试各种职业，进而找到自己的兴趣、发现自己的潜力，而不是安安稳稳地一生只从事一个职业。

我们发现，人生其实就是一个寻找最优解的过程，一开始所有人都不是最完美的，但随机性让每个人都拥有无限可能，通过不断的提升，最终我们可以找到自己可能到达的最优位置。

2、被投诉的庞蒂亚克汽车和冰淇淋的关系

很多数学概念的背后都闪耀着智慧的光芒，这些智慧能帮我们更好地看清这个纷繁复杂的社会，并能够帮助我们在生活中做出更好的决策和行为，你相信吗？

通用汽车有一个叫庞蒂亚克的汽车品牌，被顾客投诉：每当我买香草冰激凌，汽车都不启动，但如果我买其他口味的冰激凌（草莓或巧克力），汽车就会很好地启动。我非常严肃地看待这事，不管你觉得我有多愚蠢，我都想知道，为什么庞蒂亚克每次遇到香草冰激凌都无法启动？购买时间又和车的启动有什么关系？

汽车工程师还真去调查了此事，居然发现了“气阻”的问题。更离谱的是此事得到了验证和解决，最最离谱的是，这件事竟然和数学中的一个概念叫“独立条件”有关系！

即气阻通常在发动机较热时出现，如果汽车的供油系统中出现气阻，引擎吸燃料时燃料的供应会变得断断续续，汽车会因此无法启动或者在行进时熄火。这位顾客购买的庞蒂亚克汽车就有气阻的问题。购买其他口味冰激凌花费的时间足以让引擎冷却从而让车顺利启动，而当顾客购买香草冰激凌时，时间短，引擎太热，气阻无法及时消失，汽车因此无法启动。

在很多情况下，两个事件看似相关，实则关于另外一个事件条件独立。如果我们不挖掘背后的“另外一个事件”，就很容易犯把“相关性”当成“因果性”的错误。关于看似相关的“买香草冰激凌”和“汽车不启动”这两件事的“另外一个事件”竟然是“汽车气阻问题”。

相信我，这对于一个对汽车一窍不通，且离开数学课堂已经几十年的中年少女来说，这真的真的很离谱，很有趣，很惊奇，但并未感觉看不懂，书中解释更有趣但也很合理。

3、三种世界观：事在人为、宿命论和概率的世界观

大家都知道，世界观也称宇宙观,是人们对于整个世界总的看法和根本观点。目前有三种世界观：事在人为、宿命论和概率的世界观。

——但这与数学有什么关系呢？

“事在人为”认为“虽然人生无奈，但是我们通过自己的努力，一定可以得到自己想要的结果”。这种观点过于理想化，过于强调人的主观能动性而忽略了不可控、随机的因素，往往会被现实中的挫折打击。

“宿命论”认为一切都是确定的，我们什么都不需要做，冥冥中一切自有安排。这种观点过于悲观，并且完全忽视人的主观能动性，也不符合实际情况。

而正确的世界观应该在这两者之间，叫做“概率的世界观”。 概率的世界观的核心思想很简单：很多事情的最终结果是我们不能保证的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力改变的。它告诉我们两点：

第一，很多事情的最终结果在事前只是一个概率，我们不能保证最后的结果，这一点是和“事在人为”的最大区别。

第二，虽然不能保证事情最后的结果，但是我们可以改变导致这一结果的概率，这一点是和“宿命论”最大的区别。这就是使用概率的世界观的人持有的人生态度：平静接受现实，努力改变概率。

概率的世界观和我们熟知的“谋事在人，成事在天”有相通之处。但是有了概率这个工具，我们对于这句话就有了更清晰的理解：“谋事在人”指的是我们通过努力，可以提高成功的概率；而成事在天，则指的是既然以概率作为衡量标准，那么即使我们做得再好，也不能保证成功。

很多事情的最终结果是我们不能预见的，但是，这个结果发生的概率是我们可以靠努力达成的。

所以，在数学中，概率是一个概念，但也是为人处世的的一种哲学之道。

写在最后

西方有这样一段话：数学是上帝的语言，掌握了高等数学，也就掌握了万物变幻的规律。

记得有一个叫克莱因的科学家说过这样一段话：唱歌能让你焕发激情，美术能让你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，科学能改变你的物质生活，但数学能给你以上的这一切。

这本《心中有数》作为数学类普及读物光荣入选2022年度5月“中国好书”榜单。它让读者收获的不仅仅是对数学的唤醒，还是对“世事洞明皆学问”的启发：

比如“最小二乘估计”背后的智慧就是做事情不追求绝对完美，而是在接受不完美的前提下权衡多方利益，找到最佳平衡点。这其实和孔子推崇的“中庸之道”，或者“执两用中”的智慧不谋而合。

比如“病态方程组”说明如果多个人想通过交流的方式达成共识，了解某个事情背后的真相，那么这些人最好有不同的视角。一旦视角太接近，那么这些不同视角交叉得到的共识，会对噪声极为敏感。一点点噪声，都会对最后的结果产生极大的影响，这就是所谓的“失之毫厘，谬以千里”，也是“多样性红利”的数学解释。

再比如在计算机科学中，有一个算法叫作“模拟退火算法”。它可以帮助我们通过逐步迭代，找到某一个函数的最优解。同时也告诉我们，一个人在年轻的时候，应该让自己充分探索，接受暂时的不完美，从而避免陷入局部的最优值，并在将来攀上一个更高的山峰。而到了一定阶段，知道自己最适合什么以后，就应该在自己最适合的地方深耕，不要轻易切换赛道。

以上的几个例子，就是数学公式和算法背后隐藏的智慧。这些智慧能帮助我们更客观地看清这个世界，并在你遇到问题的时候，给你提供更科学的视角，帮助你做出更好的决策和行为。

最后，愿这本《心中有数》，能让你真正地心中有数，事事顺遂，并行之有方。