LeetCode 204. Count Primes

这道题目对时间复杂度要求比较高。
先将n个数放入表中，将所有数标记为true。从2开始访问，此时2为true，质数计数器加一，然后将n中所有2的倍数全部置为false，表示这些数都不是质数。下一个为true的数是3，再将n中所有3的倍数都置为false。下一个为true的数就是5，再将所有5的倍数置位false。直到n为止。则统计的为true的个数，就是小于n的素数的个数。
其实不用一直遍历到n为止，只需遍历到sqrt(n)即可，此后大于sqrt(n)的数为true的数就全是素数了。

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
            int ans = 0;
        vector<bool> cnt(n, true);
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            if (cnt[I]){
                ++ans;
                if (i <= sqrt(n)) {
                    for (int j = 2; i * j < n; ++j)
                        cnt[i * j] = false;
                }
             }
        }
        return ans;
    }
};

附录：
厄拉多塞筛法

西元前250年，希腊数学家厄拉多塞(Eeatosthese)想到了一个非常美妙的质数筛法，减少了逐一检查每个数的的步骤，可以比较简单的从一大堆数字之中，筛选出质数来，这方法被称作厄拉多塞筛法(Sieve of Eeatosthese)。

具体操作：先将 2~n 的各个数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数 是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于 n 的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 n 的素数。

其实，当你要画圈的素数的平方大于 n 时，那么后面没有划去的数都是素数，就不用继续判了。如下图：

Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif