三门问题（蒙提霍尔悖论）分析与Golang模拟

问题描述

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

答案

答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

争议

有人认为，在主持人排除了一个门之后，汽车只可能在另外两个门中，所以在两扇门的概率各是1/2。

分析

首先参赛者选定了一扇门，主持人未开启门时，汽车在这扇门的概率为1/3，在另外两扇门中的概率为2/3，此时争议不大。而另外两扇门中必定至少有一扇是山羊，所以即使主持人指出这两扇门中一扇是山羊，并不会影响这两扇门的概率，两扇概率和仍为2/3，此时一扇已知是山羊，所以两扇中的另外一扇是汽车的概率是2/3。所以换门会提高概率。

思考

如果主持人开启揭露一扇门是山羊后，另外一个人B此时在剩下的两扇门中做抉择，并且他不知道其他信息，只知道一扇是汽车，一扇是羊，那么此时B选择到汽车的概率是1/2。
这是因为没有之前的信息，B不知道那扇门概率大，B此时是在两扇门中做随机选择，B可能有1/2的概率选择A(参赛者)开始选择的门，也有1/2的概率选择A将要换的门。所以B选择到汽车的概率为1/2 * 1/3 + 1/2 * 2/3 = 1/2。

程序模拟

package main

import (
    "fmt"
    "math/rand"
    "time"
)

func main() {
    totalTimes := 1000000
    aRightTimes := 0
    bRightTimes := 0

    rand.Seed(time.Now().UnixNano())

    for time := 1; time <= totalTimes; time++ {
        doors := [3]bool{false, false, false}
        doors[rand.Intn(3)] = true

        aFirstChoice := rand.Intn(3)
        var hostChoice, aChangedChoice int

        for i, door := range doors {
            if i != aFirstChoice && !door {
                hostChoice = i
            }
        }

        for i, _ := range doors {
            if i != aFirstChoice && i != hostChoice {
                aChangedChoice = i
            }
        }

        var bChoice int

        if rand.Intn(2) == 0 {
            bChoice = aFirstChoice
        } else {
            bChoice = aChangedChoice
        }

        if doors[aChangedChoice] {
            aRightTimes++
        }

        if doors[bChoice] {
            bRightTimes++
        }
    }

    fmt.Println("totalTimes: ", totalTimes)
    fmt.Println("aChangedChoice: ", aRightTimes)
    fmt.Println("bChoice: ", bRightTimes)
}

结果符合预期，A换门后正确概率为2/3，B随机选择正确的概率为1/2：

totalTimes:  1000000
aChangedChoice:  667407
bChoice:  499262

reference

问题描述引自百度百科