代数系统

2019-11-10 本文已影响0人 madao756

前言：本篇博客主要学习代数系统的基础知识

0X00 大纲

大纲如上，为了学习代数系统我们得先学一点基础知识

0X01 「二元运算」与「一元运算」及性质

二元运算基本概念

给出二元运算的定义：

设 $S$ 为集合，函数 $f: S×S \rightarrow S$ 称为 S 上的二元运算，简称为二元运算

这样很抽象，我们举个例子：

$f:N×N \rightarrow N, f(<x, y> )= x + y$ 就是一个简单二元运算，我们再举个反例：

普通的减法就不是自然数集 N 上的二元运算，原因减法会产生负数，不属于 $N$ 不满足定义，这时也称 N 对减法运算不封闭，反之 N 对加法运算就是封闭的

一元运算基本概念

给出定义：

设 $S$ 为集合，函数 $f: S \rightarrow S$ 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算

如果能够理解二元运算，那么一元运算理解起来更简单，举个简单的例子：

$f:N \rightarrow N\ f(x)= 2x$ 就是一个简单一元运算

二元运算的性质

假设我们定义一个二元运算的符号 $\circ$

对于一个二元运算符号，我们可以定义它的运算性质：

设 $\circ$ 为 S 上的二元运算，如果对于任意的 $x, y, z \in S$ ，都有：

交换律

如果：

$x \circ y = y \circ x$

说明满足交换律

结合律

如果：

$(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$

说明满足结合律

幂等率

如果：

$x \circ x = x$

说明满足幂等率，这个性质可能很抽象，我举个例子：

对于集合 A 来说：

$A \cup A = A$

分配率

设 $*$ 是另一个运算符号，如果：

$x*(y \circ z) = (x*y)\circ (x*z)$

$(y \circ z) * x= (y*x)\circ (z*x)$

称运算 $*$ 对 $\circ$ 是适合分配率

吸收率

设 $*$ 是另一个运算符号，如果：

$x*(x \circ y) = x$

$x \circ (x*y) = x$

则称 $\circ$ 和 $*$ 满足吸收率

这个也很抽象，我举个例子，假设集合 A、B，则有：

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = A$

则 $\cup \ \cap$ 满足吸收率

消去律

如果：

$x \circ y = x \circ z，且 x \neq \theta, 则\ y = z$

$y \circ x = z \circ x，且 x \neq \theta, 则\ y = z$

其中 $\theta$ 是零元，则称 $\circ$ 满足消去律

0X02 代数系统的引入

学习完基础知识以后，我们正式进入代数系统的学习，首先给出定义：

非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算， $f_1, f_2, ..., f_k$ 组成的系统统称作一个代数系统 ，记做 $<S, f_1, f_2,...,f_k>$

例如：

$<N, +>、<Z, +, *>$ 都是代数系统，其中的符号分别是，普通的加法与普通的乘法

通常为了强调代数系统中代数常数，我们会把这个代数常数列在代数系统的表达式中。例如：将 $<Z, +>$ 记做 $<Z, +, 0>$

如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元术相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统

上一篇下一篇

猜你喜欢

热点阅读