怎么利用抽象函数单调性解函数不等式？

2020-07-05 本文已影响0人天马无空

确定抽象函数单调性解函数不等式

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

解题步骤：

第一步（定性）确定函数 $f(x)$ 在给定区间上的单调性和奇偶性；

第二步（转化）将函数不等式转化为 $f(M)<f(N)$ 的形式；

第三步（去 $f$ ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“ $f$ ”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步（求解）解不等式或不等式组确定解集；

第五步（反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.

【例题】设 $y=f(x)$ 是定义 $(0,+\infty)$ 在上的减函数，且满足 $f(xy)=f(x)+f(y)$ ， $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=1$ .

（1）求 $f(1)$ ， $f\left(\dfrac{1}{9}\right)$ ， $f(9)$ 的值；

（2）若 $f(x)-f(2-x)<2$ ，求 $x$ 的取值范围．

【分析】

（1）利用赋值法即可求值；

（2）结合函数单调性以及抽象函数的关系将不等式进行转化即可．

【解析】

(1)令 $x=y=1$ ，则 $f(1)=f(1\times1)=f(1)+f(1)$ ，

所以 $f(1)=0$ .

故 $f\left(\dfrac{1}{9}\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)=1 + 1=2$ ，.

令 $x=3$ ， $y=\dfrac{1}{3}$ 则 $f(1)=f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$ ，

所以 $f(3)=-1$ .

所以 $f(9)=f(3 \times 3)=f(3)+f(3)=-2$

(2)因为 $f(x)-f(2-x)<2$ ，

所以 $f(x)<f(2-x)+2=f(2-x)+f\left(\dfrac{1}{9}\right)=f\left(\dfrac{1}{9}(2-x)\right)$

由 $y=f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的减函数，

得 $\begin{cases}x>0 \\2-x>0 \\x>\dfrac{1}{9}(2-x)\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x>0 \\x<2 \\x>\dfrac{1}{5}\end{cases}$ ，即 $\dfrac{1}{5}<x<2$ .

故 $x$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{1}{5},2\right)$ .

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