比较判别法和极限比较判别法+分部积分

2020-09-17 本文已影响0人 Rain师兄

比较判别法

假设我有两个函数，一个f(x),另一个g(x)

假设在区间[a,b],当两个函数趋于a的时候，二者无界，也就是说在x=a是两个函数的垂直渐近线。也就是说在这个区间上对二者的积分都是反常积分。

如果f(x)>=g(x)在区间[a,b]上恒成立，假如f(x)收敛，则g(x)收敛。假如g(x)发散，则f(x)必发散。

极限判别法我上一篇写过，极限判别法就是，要知道一个函数是否收敛，可以选取一个比这个函数更为简单的与它变化趋势相近的一个函数，来判断所选的这个函数是否收敛。二者收敛或者发散是一致的。但是收敛值一般不一样。

二者可替代判断

要求在区间上只有一个瑕点，也就是只有一个点当x趋于该点的时候，函数是无界的。

我还没验证的一个想法，是不是有多个瑕点的话只需要把积分上下限拆开就行了

积分的技巧有很多。

换元法，分部积分法。分部积分

分部积分我一开始看不懂，不知道什么意思。

假设我有两个函数

d(uv)/dx=u*dv/dx + v*du/dx

两边乘以dx

d(uv) = udv+vdu

在两边求积分

uv = $\int_{}^{} udv$ + $\int_{}^{} vdu$

所以有

$\int_{}^{} udv$ = uv - $\int_{}^{}vdu$

但还是没说清楚分部积分到底是什么意思

假如我要求 $\int_{}^{ } x cosx dx$

u=x

cosxdx=dv

du=dx

v=sinx

这下就可以求了

$\int_{}^{} xcosxdx$ =xsinx- $\int_{}^{} sinxdx$ =xsinx+cosx+c

在对xsinx+cosx 求下导

(xsinx+cosx+c)'=sinx+xcosx-sinx=xcosx

对了