重要概念：Softmax 和 Corssentropy 详解

2020-05-27 本文已影响0人何哀何欢

总结：
　　Softmax就是将数值转为概率。
　　交叉熵就是求两组概率分布的偏差。

有 $x, y$ 如下：:
$x \in [0 , \infty)$
$y \in [-\infty, \infty]$

$x$ 可以看作是 $x =e^y$
$y$ 可以看作是 $y = \log_ex$
$y$ 是 $x$ 的log值， $x$ 越大 $y$ 越大。

log( [0, 1) )	log( 1 )	log( (1, ) )
-	0	+

求log就是把正整数放大到 $\pm\infty$ (log扩：概率到结果）

求e幂就是把 $\pm\infty$ 缩到正整数/概率（e幂缩：结果到概率）
助记：老公阔杨幂锁（老公有钱，把杨幂锁在家里）

$x$ 可以看作是odds，范围 $[0 , \infty)$ 概率/odds/logits
于是，一堆任意数 $y$ ，转化为概率分布，路径就是：
一堆任意数 $y$ $\rightarrow$ odds $\rightarrow$ 各odds的概率
（因为所有y是全体样本，所以结果也是概率分布）

项目	评估值 $m$	odds = $e^m$	softmax( $m$ )
猪	-0.1	0.368	0.067
猫	2	7.39	0.548
狼	0.5	1.649	0.122
马	1	2.718	0.202
蜂	-0.2	0.819	0.061
总和		12.9	1

$softmax = \frac{e^{m_i}}{\sum e^{m_j}}$

一组数据的真实情况有了，NN也给出了它的猜测概率，那么如何计算偏差呢？
先来看一个猜对的例子，NN猜测是“狼”，所以狼给出的概率最高，最后真实情况也是狼（为1）：

项目	猜测概率 (“是”的概率)	“非”的概率（1减“是”）	真实情况 Y (是:1 非:0)	选定的猜测概率 (x)	$ln(x)$
猪	0.05	0.95	0 (选无)	0.95	-0.051
猫	0.1	0.9	0	0.9	-0.105
狼	0.7	0.3	1 (选有)	0.7	-0.357
马	0.1	0.9	0	0.9	-0.105
蜂	0.05	0.95	0	0.95	-0.051
总和	1				-0.67

计算整体情况，可以用加法，也可以用乘法。加法上不封顶，突破天际，不利于衡量。所以改用乘法，将真实概率(x)相乘：

$\prod x= 0.95\times 0.9\times 0.7\times 0.9\times 0.95 \approx 0.512$

但是概率在 $[0 , 1]$ 间，如果项多了以后，结果会非常小，又不利于评判。于是，乘法转加法的法宝， $log$ 登场了：

$ln0.95+ ln0.9+ln0.7+ln0.9+ln0.95\approx ln0.512\approx -0.67$
取个反: $-0.67\times-1 = 0.67$

再看另一个猜错的例子，NN猜测为狼，而实际是猪：

项目	p有	p无	Y	x	$ln(x)$
猪	0.05	0.95	1	0.05	-2.996
猫	0.1	0.9	0	0.9	-0.105
狼	0.7	0.3	0	0.3	-1.204
马	0.1	0.9	0	0.9	-0.105
蜂	0.05	0.95	0	0.95	-0.051
总和	1				-4.462

结果是 $-4.462\times-1=4.462$
所以上面的两个概率表，可以理解为：计算机猜测出某个动物是狼的可能性，要远大于其他几个动物，然而正确的结果如果也是狼，那CE为0.67，很小，基本就猜对了。如果正确的结果是猪，那说明猜错了，CE为4.462，很大。

在backward的时候，就要提高NN输出正确结果的数值（概率）。

公式也就出来了：
$Y_i= \begin{cases} 1, \quad if\; yes \\0, \quad if\; no \end{cases}$

$CrossEntropy = - \sum Y_i ln(p_i) + (1-Y_i)ln(1-p_i)$

$Y$ 可以看作是一个选择器，其实就是用 $Y$ 去选，究竟用哪个 $x$ ，用“是”的，还是“非”的，然后算ln求和:

重要概念：Softmax 和 Corssentropy 详解

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