高考数学全国卷客观题：多面体与球

2021-01-23 本文已影响0人易水樵

锥体与球体

2011年全国卷题15

15.已知矩形 $ABCD$ 的顶点都在半径为 $4$ 的球 $O$ 的球面上，且 $AB=6,BC=2\sqrt{3}$ ，则棱锥 $O-ABCD$ 的体积为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

参考答案：「2011年全国卷题15」

2012年全国卷题11

（11）已知三棱锥 $S-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $\triangle ABC$ 是边长为 $1$ 的正三角形， $SC$ 为球 $O$ 的直径，且 $SC=2$ ，则此棱锥的体积为

$(A)\dfrac{\sqrt{2}}{6} \qquad (B)\dfrac{\sqrt{3}}{6} \qquad (C)\dfrac{\sqrt{2}}{3} \qquad (D)\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

参考答案：「2012年全国卷题11」

2015年全国卷B题9

（9）已知 $A,B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $\angle AOB=90°,C$ 为该球面上的动点. 若三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值为 $36$ ，则球 $O$ 的表面积为

$(A)36\pi\qquad(B)64\pi\qquad(C)144\pi\qquad(D)256\pi$

参考答案：2015年全国卷B题9

2018年全国卷C题10

10.设 $A,B,C,D$ 是同一个半径为 $4$ 的球的球面上四点， $\triangle ABC$ 为等边三角形且其面积为 $9\sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D-ABC$ 体积的最大值为

$A.12\sqrt{3}\qquad B.18\sqrt{3}\qquad C.24\sqrt{3}\qquad D.54\sqrt{3}$

参考答案：2018年全国卷C题10

2018年全国卷B题16

16.已知圆锥的顶点为 $S$ ，母线 $SA,SB$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{7}{8}$ . $SA$ 与圆锥底面所成角为 $45°$ . 若 $\triangle SAB$ 的面积为 $5\sqrt{15}$ ，则该圆锥的侧面积为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .

参考答案：2018年全国卷B题16

柱体与球体

2010年全国卷题10

10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 $a$ ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

$A.\pi a^2 \qquad B.\dfrac{7}{3}\pi a^2\qquad B.\dfrac{11}{3}\pi a^2\qquad B. 5\pi a^2$

参考答案：2010年全国卷题10

2017年全国卷C题8

8.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

$A.\pi \qquad B.\dfrac{3\pi}{4}\qquad C.\dfrac{\pi}{2}\qquad D.\dfrac{\pi}{4}$

参考答案：2017年全国卷C题8

2016年全国卷C题10

（10）在封闭的直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 内有一个体积为 $V$ 的球. 若 $AB \perp BC, AB=6, BC=8,AA_1=3$ ，则 $V$ 的最大值是

$(A)4\pi \qquad (B)\dfrac{9\pi}{2} \qquad (C)6\pi \qquad (B)\dfrac{32\pi}{3}$

多面体与球：2016年全国卷C题10

2013年全国卷A题6

（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 $8\;cm$ ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 $6\; cm$ ，如果不计容器的厚度，则球的体积为

$(A)\dfrac{500\pi}{3}cm^3\qquad\;(B)\dfrac{866\pi}{3}cm^3$
$(C)\dfrac{1\,372\pi}{3}cm^3\qquad(D)\dfrac{2\,048\pi}{3}cm^3$

2013年全国卷A题6

参考答案：2013年全国卷A题6

压轴题

2019年全国卷A题12

12.已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上， $PA= PB=PC，\triangle ABC$ 是边长为 2 的正三角形， $E,F$ 分别是 $PA,AB$ 的中点， $\angle CEF=90°$ ，则球 $O$ 的体积为

$A.8\sqrt{6}\pi\qquad B.4\sqrt{6}\pi\qquad C.2\sqrt{6}\pi\qquad D.\sqrt{6}\pi$

参考答案：2019年全国卷A题12

2017年全国卷A题16

16.如图，圆形纸片的圆心为 $O$ ，半径为 $5cm$ ，该纸片上的等边三角形 $ABC$ 的中心为 $O$ . $D,E,F$ 为圆 $O$ 上的点， $\triangle DBC, \triangle ECA, \triangle FAB$ 分别是以 $BC,CA,AB$ 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 $BC,CA,AB$ 为折痕折起 $\triangle DBC, \triangle ECA, \triangle FAB$ ，使得 $D,E,F$ 重合，得到三棱锥. 当 $\triangle ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位∶ $cm^3$ ）的最大值为 $\underline{\mspace{100mu}}$ .