把书读薄：如何证明空间的线面垂直与线线垂直？

2021-12-16 本文已影响0人易水樵

空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

真题实例

2007年文数海南卷题18

如图， $A，B，C，D$ 为空间四点，在 $\triangle ABC$ 中， $AB=2，AC=BC=\sqrt{2}$ ，等边三角形 $ADB$ 以 $AB$ 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 $ADB \perp$ 平面 $ABC$ 时，求 $CD$ ;

（Ⅱ）当 $\triangle ADB$ 转动时，是否总有 $AB \perp CD$ ? 证明你的结论.

2007年文科数学海南卷

2017年文科数学全国卷C题19

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $AD=CD.$

（1）证明： $AC \perp BD$ ；

2017年文科数学全国卷C

2009年理数海南卷题19

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， $P$ 为侧棱 $SD$ 上的点.

（I）求证∶ $AC \perp SD$ ;

2009年理数海南卷

2009年文科数学海南卷题18

如图，在三棱锥 $P - ABC$ 中， $\triangle PAB$ 是等边三角形， $\angle PAC= \angle PBC=90°.$

（Ⅰ）证明∶ $AB \perp PC$ ;

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2007年理科数学海南卷题18

如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，侧面 $SAB$ 与侧面 $SAC$ 均为等边三角形， $\angle BAC=90°$ ， $O$ 为 $BC$ 的中点.

（Ⅰ）证明∶ $SO \perp$ 平面 $ABC$ ;

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2004年文数全国卷C题21

三棱锥 $P-ABC$ 中，侧面 $PAC$ 与底面 $ABC$ 垂直， $PA=PB=PC=3.$

（Ⅰ）求证 $AB \perp BC$ ;

2004年文科数学全国卷C题21

2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $B_1C$ 的中点为 $O$ ，且 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C.$

（I）证明∶ $B_1C \perp AB$ ;

2014年文科数学全国卷A

2013年理数全国卷A题18

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1,\angle BAA_1=60°.$

（I）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;

2013年理科数学全国卷A

2013年文科数学全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $CA=CB,AB=AA_1, \angle BAA_1=60°.$

（Ⅰ）证明∶ $AB \perp A_1C$ ;

2013年文科数学全国卷A

2011年文数全国卷题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$

（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;

2011年文科数学全国卷

2011年理数全国卷题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$

（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;

2011年理科数学全国卷

2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.

（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;

2018年理科数学全国卷B

2012年理数全国卷题19

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点. $DC_1 \perp BD.$

（Ⅰ）证明∶ $DC_1 \perp BC$ ;

2012年理科数学全国卷

2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $B_1C$ 的中点为 $O$ ，且 $AO \perp$ 平面 $BB_1C_1C.$

（I）证明∶ $B_1C \perp AB$ ;

2014年文数全国卷A

2020年全国卷A题18

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $AE$ 为底面直径， $AE=AD$ . $\triangle ABC$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $DO$ 上一点， $PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO$ .

（1）证明∶ $PA \perp$ 平面 $PBC$ ;

2020年全国卷A

2010年理数全国卷题18

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为等腰梯形， $AB//CD，AC \perp BD$ ，垂足为 $H$ ， $PH$ 是四棱锥的高， $E$ 为 $AD$ 中点.

（1）证明∶ $PE \perp BC$ ;

2010年理数全国卷

2012年理数大纲卷题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为菱形， $PA \perp$ 底面 $ABCD$ ， $AC=2\sqrt{2}，PA=2$ ， $E$ 是 $PC$ 上的一点， $PE=2EC.$

（Ⅰ）证明∶ $PC \perp$ 平面 $BED$ ;

2012年理科数学大纲卷

2019年文数全国卷B题17

如图，长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上， $BE \perp EC_1.$

（1）证明∶ $BE \perp$ 平面 $EB_1C_1$ ;

注：理数与文数的第1问完全相同。

2019年文数B17

四棱锥：2016年理数北京卷题17

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD, PA=PD$ , $AB \perp AD$ , $AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}$ .

2016年理科数学北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ ;

折纸：2016年文数全国卷B题19

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $E，F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF,EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置.

（I）证明∶ $AC \perp HD'$ ;

2016年文数全国卷B

折纸二面角：2016年理数全国卷B题19

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB=5,AC =6$ ，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置， $OD'= \sqrt{10}.$

（I）证明∶ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ ;

2016年理数全国卷B

向量方法：2012年理数北京卷题16（14分）

如图1，在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C=90°, BC=3, AC=6$ ， $D,E$ 分别是 $AC,AB$ 上的点，且 $DE//BC$ ， $DE=2.$ 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$ ，如图2.