比较静态分析02|变化率、导数、极限、连续、可微

变化率—>导数，导数—>极限

在比较静态分析中，我们关注的核心话题是“参数变化了，内生变量怎么变”，即变化率问题。在下面的分析中，y=f(x)，y代表内生变量的均衡值、x表示参数。

• 变化
  用“差”来表示
• 变化率
  可以用“差商”来表示，即△y/△x，测度y的平均变化率

差商

• 导数
  在△x 很小时的变化率，即若当△x->0，△y/△x的极限存在，则该极限就是和函数y=f(x)的导数
  

  导数

• 极限

  
  极限

• 连续性
  当v趋近于定义域中的点A时，函数q=g(v)的极限存在，且等于g(N)，即等于函数在v=N时的值，我们就说函数在点N是连续的。

连续

任何多项式函数在其定义域内都是连续的

多项式函数

任何有理函数在其定义域内是连续的
在定义域内连续的任意有限个函数的和差积商，在定义域内同样分别是连续的。

例子

• 可微性
  在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

可微测度的是曲线的平滑性，可微不但要求曲线具有连续性，还要求曲线具有平滑性。经济学中遇到的大多数函数均具有处处可微的性质。

我们研究函数f在x=x0是否可微，即导数dy/dx在x=x0是否存在，或f'(x0)是否存在的问题。之所以使用“可微”这一术语是因为求导数dy/dx的过程被看作微分（也称求导）的过程。

可微

若f在X0点可微，则f在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。

拓展
一元函数

• 连续
• 可导
• 可微

多元函数

• 连续
• 偏导存在
• 可微分
• 方向导数存在
• 偏导连续

联系

参考资料：

1. 《数理经济学的基本方法》第四版，蒋中一
2. 维基百科-可微函数
3. 可导，可微，可积，连续的关系是什么？然后，它们各自的充要条件是什么？