高等数学第一章函数与极限

函数的概念和简单性质

什么是函数，函数是从一个非空数集到另一个非空数集按照一定的对应法则的一个映射。但是把这种映射叫做函数。f：X-->Y 从X到Y的函数。在集合X中的每一个元素，在Y中都有唯一一个元素与之对应。

Y中与X中对应的元素叫做像，X的叫做原像。

单射函数：即定义域中的每一个元素对应的函数值不等，除非在定义域中取相同的元素。

双射（单射和满射）

既是单射又是满射的函数称为双射. 函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。

单射但非满射

一个函数称为单射(一对一)如果每个可能的像最多只有一个变量映射其上。等价的有，一个函数是单射如果它把不同值映射到不同像。一个单射函数简称单射。

满射但非单射

一个函数称为满射（到上）如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说陪域任何元素都有至少有一个变量与之对应。

非满射非单射

函数单调性周期性奇偶性有界性

数列的极限

对于任意的大于零的数b，如果存在一个正数N，使得当n>N时，有IXn-aI <b 

那么a是数列Xn的极限，数列收敛与a

如果数列极限存在，极限必唯一

若数列有极限，那么数列必有界

注意有界数列不一定有极限

如数列无界，则数列发散。

保序性

函数的极限

和数列差不多，不过数列只能趋于正无穷

函数能趋于某一点，也能趋于无穷。

无穷大与无穷小

无穷小是以0为极限的函数

极限的运算法则

有限个无穷小的和为无穷小，有限个无穷小的乘积为无穷小

无穷大加无穷大不一定是无穷大

极限的存在准则和两个重要极限

lim sinx/x=1 

lim (1+x)^1/x = e

无穷小的比较

高阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

等价无穷小

连续和间断点

闭区间连续函数的性质

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连续函数不一定有导数。绝对值函数在x=0处无切线