微分方程-变量分离的方程

2019-11-06 本文已影响0人洛玖言

变量分离的方程

如果微分方程
$P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\quad(2.15)$

中的函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 均可分别表示为 $x$ 的函数与 $y$ 的函数的乘积，则称（2.15）为变量分离的方程. 因此，只要令

$P(x,y)=X(x)Y_1(y),\;Q(x,y)=X_1(x)Y(y),$

变量分离的方程可以写成如下的形式

$X(x)Y_1(y)\text{d}x+X_1(x)Y(y)\text{d}y=0\quad(2.16)$

先考虑一个特殊的情形： $P=X(x)$ 和 $Q=Y(y)$ . 则微分方程（2.15）成为

$X(x)\text{d}x+Y(y)\text{d}y=0\quad(2.17)$

显然这是一个恰当方程，所以容易得到它的通积分
$\displaystyle\int X(x)\text{d}x+\int Y(y)\text{d}y=C$

一般而言，（2.16）未必是恰当方程. 但是，在上面对微分方程（2.17）求解之后，我们容易想到：如果以因子 $X_1(x)Y_1(y)$ 去除（2.16）式的两侧，就得到

$\displaystyle\dfrac{X(x)}{X_1(x)}\text{d}x+\dfrac{Y(y)}{Y_1(y)}\text{d}y=0\quad(2.19)$

此方程具有（2.17）的形式（即 $x$ 和 $y$ 互相分离），因此它的通积分为

$\displaystyle\int\dfrac{X(x)}{X_1(x)}\text{d}x+\int\dfrac{Y(y)}{Y_1(y)}\text{d}y=C$

容易看出，当 $X_1(x)Y_1(y)\not =0$ 时，这两个方程是同解的
还要补上可能丢失的特解：
$x=a_i\quad(i=1,2,\cdots)$ ，其中 $a_i$ 是 $X_1(x)=0$ 的根;
$y=b_j\quad(j=1,2,\cdots)$ ，其中 $b_j$ 是 $Y_1(y)=0$ 的根.

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