Princeton-Algorithm-Union Find

该文章为Princeton-Algorithms Part I读书笔记，相关视频在此。

1. 算法用于解决的问题: Dynamic Connectivity

1.1 两个操作：Union & Find

Union & Find

关键：ObjectS + Union + Find

1.2 Connected Component

Connected Components

2. 实现

2.1 Quick-Find

是一种eager approach，why？

• 思想：利用一个id数组来对每个object进行分类

  
  quick find

Find(p, q): 查看各自的id是否相等
Union(p, q): 将所有与p的id相同的objects的id设置为与q的id相等

• Java实现

  
  Java 实现

• 效率：Union太慢。一次Union花O(N)，连续对M个对象Union耗时O(MN)。

2.2 Quick-Union

是一种lazy approach

• 思想：id数组中存着parent

  
  quick union

Find(p, q): 查看各自的root是否相等
Union(p, q): 将p的root的id设置为q的root的id

• Java实现

  
  Java实现

• 效率：Union还是太慢，可能花O(N)来find对象的root

  
  效率对比

可以从所维护的树的角度来考虑：
quick find: 树是平的，union之后改动很大
quick union: union虽然只需要对树一次改动，但是可能树很高，find花很长时间

3.优化

3.1 方法1: weighting

• 思想

  • 对quick-union进行修改使之避免太高的树
  • 记录每个树包含的对象数 (size) Note:也可以是depth，算法complexity上是一样的，但是code不同
  • union操作时只将小的树的root连向大的树的root，这样尽量平衡了树，避免了树不断变高。
    unweighted vs weigthed

• Java实现

java实现

• 效率: 相当不错，每次union和find都是O(lgN)。连续对N个对象进行M次Union-Find操作耗时O(MlgN)。

  
  效率比较

为什么O(lgN)呢？因为一个节点最大深度只能为lgN
证明：
考虑一个节点x，什么时候深度才会递增1？当它所在的树小于要union的那棵树时。因此union之后，它所在的树的节点数翻倍。由于总节点数为N，因此x所在的树由节点数为1开始，最多能翻倍lgN次，即x的深度最多是lgN。

3.2 方法2：path compression

• 思想：每次利用root(p)找到某个点的root时，再来一次循环将路径上的所有点都指向root，进而又减少了树的高度！

• 效率：非常好。In theory, 连续对M个对象进行N次Union-Find操作的amortized的时间复杂度为O(MlgN)。In pratical, 其实甚至接近了线性耗时O(N).
  

  union find优化效率

4. 应用

4.1 Percolation穿透问题

percolation model

具有NXN的区域，每个单元格有一定的概率要么空，要么填充。问题是求解是否上边能穿透到下底。

更实际的应用有电路问题，流水问题，社交问题等

percolation application

此外，还有一个关于如何得到percolation threshold（穿透阈值）的实验：

estimate percolation threshold

技巧：引入上下两个virtual site便于check是否上边与下底相连

算法的发展思路