超几何分布检验常用来对venn图两个圈overlap的显著性进行检验
设总共有29个人，其中11个吸烟者，18个非吸烟者，现从中随机抽取16个样本（在此实验中对应着肺癌病人），有10个是吸烟者，这样的事件是否显著？用venn图表示为：

image.png
用R语言计算：
p-value=phyper(10-1, 11, 18, 16, lower.tail=F)=0.003135274
可以看出此结果跟我们在2中手动算出来的结果相同，为单侧检验。

设总共有29个人，其中16个癌症患者，13个正常人，现从中随机选出11个人（对应着所有抽烟的人），有10个是癌症患者，这样的事件是否显著？用venn图表示为

image.png

（左边的圈为抽样出来的11个样本，可以分为两类：癌症患者和非癌症患者）
p-value=phyper(10-1, 16, 13, 11, lower.tail=F)=0.003135274

转自：超几何分布检验（hypergeometric test）与费歇尔精确检验（fisher's exact test）
https://blog.csdn.net/linkequa/article/details/88189582

1，超几何分布的定义
总共有N件产品，其中M件次品，现在从中抽取n件做检查，抽到k件次品的概率分布服从超几何分布。
P(k,N,M,n)=((Mk))∗((N−Mn−k))(Nn)，其中k=0,1,2,...MP(k,N,M,n)=((Mk))∗((N−Mn−k))(Nn)，其中k=0,1,2,...M P(k, N, M, n) = \frac{\left(M \choose k \right)*\left(N-M \choose n-k \right)}{N \choose n}，其中k = 0, 1, 2, ...MP(k,N,M,n)=(nN)((kM))∗((n−kN−M))，其中k=0,1,2,...M
2，超几何分布检验
给定一个超几何分布，算出比某个事件更极端的概率，可以称为超几何分布检验。
比如在两个圈的venn图中，想要计算overlap是否显著：

image.png

假设总共的基因个数为20000个，图中左边圈总数3005可以看成是次品的总个数，现从中抽取805个产品，需要计算得到次品个数大于等于265的概率。
思考过程：在次品个数是少数的情况下，overlap越高，从超几何分布来看，发生的概率越小。现在的overlap是265，可能会是过高的那种情况，那么现在计算overlap是265以及大于265的概率之和，如果这个概率很小，那就说明发生265这个事件不是随机的，进而就推出来了overlap为265是显著性高的一个事件。

注意：这里好像和GO分析实现方法不一样，GO考虑总数，这里只是看overlap是不是偶然。

3，fisher精确检验（Fisher exact-test）的原理基于超几何分布，实际就是超几何分布检验。
4，R包中实现
R中自带超几何分布的检验（stats包）

4.1 方法1

phyper(q-1, m, n, k, lower.tail=F) #备择假设为"more"的情况
Note:两种方法的参数如下：
q = the number of white balls drawn from the urn (without replacement)
q对应到抽样问题，为k
m = the number of white balls in the urn
m对应到抽样问题，为M
n = the number of black balls in the urn
n对应到抽样问题，为N-M
k = the number of balls drawn from the urn (sample size)
k对应到抽样问题，为n
Note: lower.tail使用的逻辑为： if TRUE (default), probabilities are P[X ≤ x], otherwise, P[X > x].
1, 当备择假设为"less"时，即关心左端的那一部分（overlap小的那一端），无论怎么设置lower.tail，q不用q-1替代；
2，当加上lower.tail=F参数时，备择假设为"more"时，即关心右端的那一部分（overlap大的那一端），无论怎么设置lower.tail，q必须用q-1替代。

结合前面例子进行类比分析：

image.png

算出来结果如下：> phyper(264,3005,16995,805,lower.tail = F)
[1] 9.86227e-39
和前面不一样，怀疑是总数20000可能不是真实值。

另外一个例子

R里面进行计算超几何分布的p值

a <- 2380
b <- 2313
inter <- 345
> phyper(inter-1, a, 20000-a, b, lower.tail = F)
[1] 2.098632e-06

这里的a为A数据集的基因数（数据较大的一方），b为B数据集的基因数（数据较小的一方），inter为两者交集的基因数。20000代表的是背景基因总数。

亚细胞定位的富集分析

比如总共30000个蛋白，修饰组鉴定稻7000个蛋白，有700个位于叶绿体，水稻中叶绿体蛋白总共有2000个，那么这500个富集与否？

image.png

> phyper(700-1, 6300, 30000-6300, 2000, lower.tail = F)
[1] 4.890653e-51

这里考虑的是：当加上lower.tail=F参数时，备择假设为"more"时，即关心右端的那一部分（overlap大的那一端），无论怎么设置lower.tail，q必须用q-1替代。所以为何700-1了。
作者：柳叶刀与小鼠标
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来源：简书
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