数论

整理|李丽梁

1、有理数及其运算

这像5，1.2，½，……这样的数叫做正数 positive number，它们都比0大。

在正数前面加上“－”号的数叫做负数 negative number，如，－10，－3，……

0既不是正数，也不是负数。

为了突出数的符号，可以在正数前加“＋”号，如，＋5，＋1.2，＋½，……

读一读：负数小史

在人类生活中，早就存在着收入与支出、盈利与亏本等具有相反意义的现象。中国是最早采用正、负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家。有关正、负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中，书中明确提出“正负术”，这是世界上至今发现的最早最详细的记载。公元3世纪，我国数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之。正算(筹)赤，负算(筹)黑，否则以邪正为异。”就是说，对两个得失相反的量，要以正、负加以区别。用红筹表示正，黑筹表示负。也可将算筹正放、斜放来区别。

在国外，负数概念的建立和使用，经历了一个曲折的过程。印度在公元7世纪出现了负数概念，并有了负数的运算，不过他们总把负数解释为负债。欧洲的数学家迟迟不承认负数，认为零是最小的数，而比零还小的数是不可思议的。欧洲最早承认负数的是17世纪法国数学家笛卡儿( Rene Descartes，1596-1650)，他承认解方程中出现的负根，不过他称之为“假根”。直到19世纪，负数在欧洲才获得普遍承认。在人类生活中，早就存在着收入与支出、盈利与亏本等具有相反意义的现象。中国是最早采用正、负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家。有关正、负数的概念和运算法则的系统论述，记载于我国古代数学名著《九章算术》一书中，书中明确提出“正负术”，这是世界上至今发现的最早最详细的记载。公元3世纪，我国数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之。正算(筹)赤，负算(筹)黑，否则以邪正为异。”就是说，对两个得失相反的量，要以正、负加以区别。用红筹表示正，黑筹表示负。也可将算筹正放、斜放来区别。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0，叫做原点origin，选取某一长度作为单位长度unit length，规定直线上向右的方向为正方向positive direction，就得到下面的数轴number axis。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个的相反数opposite number，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数0。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值absolute value。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同0相加，仍得这个数。

加法 addition

交换律 commutative law：a＋b＝b＋a

结合律 associative law：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数乘法multiplication法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与0相乘，积仍为0。

乘积为1的两个有理数互为倒数reciprocal。例如，－3与－1/3，－3/8与－8/3。

乘法的交换律：ab＝ba

乘法的结合律：(ab)c＝a(bc)

乘法对加法的分配律distributive law：(a＋b)c＝ac＋bc

有理数的乘方：

这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方power，乘方的结果叫做幂power，a叫做底数base number，n叫做指数exponent，

读一读：棋盘上的学问

古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说:“就在这个棋盘上放一些米粒吧。第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒、……一直到第64格。”“你真傻！就要这一点米粒？！”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”

你认为国王的国库里有这么多米吗?

有理数的混合运算：

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

尝试：电子计算器electronic calculator的使用