概率论笔记

2023-12-18 本文已影响0人何约什

概率论笔记

（10分）（1）有两个盒子，第一个中有 $3$ 个红球， $2$ 个蓝球，第二个中有 $2$ 个红球， $4$ 个蓝球。先随机选一个盒子，在选中的盒子中随机拿出一个球，求拿出红球的概率。

（2）有三个盒子，第一个中有 $1$ 个白球， $2$ 个红球，第二个中有 $1$ 个白球， $2$ 个蓝球，第三个中有 $3$ 个蓝球。先随机选一个盒子，在选中的盒子中随机拿出一个球，求拿出白球的概率。
（10分）一个红绿灯有红灯、黄灯、绿灯三种状态，一开始为红灯，此后每过一分钟按照转移矩阵 $P$ 转移，求第三分钟为绿灯的概率。

$P= \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.1 & 0.6 & 0.3 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{bmatrix}$

（10分）一枚硬币正面的概率为 $p$ ，反面的概率为 $1-p$ ，其中 $p$ 在 $[0,1]$ 上均匀分布。现将硬币连续抛 $n$ 次，均得到正面，求 $p$ 的后验概率密度函数和期望。
（10分）某个城市每天下雨的概率为 $\frac{3}{4}$ 。天气预报在第二天下雨时有 $80\%$ 的概率预测下雨， $20\%$ 的概率预测不下雨，在第二天不下雨的有 $20\%$ 的概率预测下雨， $80\%$ 的概率预测不下雨。某人在预报下雨时带伞，预报不下雨时有 $\frac{1}{2}$ 的概率带伞。

（a）在他不带伞的条件下，求下雨的概率。

（b）在他带伞的条件下，求不下雨的概率。
（10分）在圆 $S$ 中随机取两点 $A$ 、 $B$ ，求以 $A$ 为圆心， $|AB|$ 为半径的圆完全在 $S$ 的内部的概率。
（10分）平面上有无穷多条平行直线，相邻两条的距离为 $10$ 。在平面上随机放一个三边长为 $2$ ， $3$ ， $4$ 的三角形，求这个三角形和某条平行直线有交的概率。
（10分）设随机变量 $X$ 的方差为 $\sigma^2$ ，证明：对任意 $\lambda>0$ ，有 $P(X-EX>\lambda)\le \frac{\sigma^2}{\sigma^2+\lambda^2}$ 。
（15分）设 $\xi_1,\xi_2,...$ 是独立同分布的随机变量， $S_n=\xi_1+\xi_2+...+\xi_n$ ，事件 $G$ 为 $S_i\le i$ 对 $i=1,2,...,n$ 均成立。

（1）若 $P(\xi_i=0)=P(\xi_i=2)=\frac{1}{2}$ ， $s$ 为偶数，求 $P(G|S_n=s)$ 。

（2）若 $\xi_i$ 取非负整数，根据（1）猜测 $P(G|S_n=s)$ 的表达式并证明。
（15分）一次测试中，一个人要回答 $n$ 个问题，他答对问题 $i$ 的概率为 $p_i$ ，答对问题 $i$ 得到的奖励为 $v_i$ 。他可以按任何顺序答题。如果他答错一道题，那么测试到此停止，他将得到他之前答对的所有问题对应的奖励。问：这个人按什么顺序答题时，获得的总奖励期望最大？

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