17.梅涅劳斯定理

设三角形ABC所在的平面上有一直线，分别交三边 BC, AC 及 AB所在的直线 于点 D, E 及 F，（且D,E,F不与A,B,C重合）则

梅涅劳斯定理

证明：分别作AG，BH,CI垂直于EF于点G,H,I

梅涅劳斯定理的一种证明

设AG=h1,BH=h2,CI=h3,由三角形相似，有

AF/FB = -h1/h2
BD/DC = h2/h3
CE/EA = h3/h1

三个等式相乘，得结论。

说明：
（1）如果直线交三边都在线段外，那么，按照这样的次序书写，三个比值都为负值，结果仍然为-1.
（2）如果交一边在线段上，那么，按照帕士公设，必然还交另一边在线段上，同时交第三边在线段外，按照这样的顺序书写，比值两正一负，结果仍为-1.
（3）如果出现平行，假设交点在无穷远处，依然成立，巧好是平行线分线段成比例。
（4）适当的改变书写顺序，可以把结果写为正一。
（5）如果只考虑长度，不顾及方向，结果也可写为正一。
（6）结果写成负数的含义是：遵照Pasch公理，区分内外分点。
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以上证明方法可用。但初中平面几何更常用的是，利用平行线证明。而且，如果教科书上没有梅涅劳斯定理，那么在答题时需要一个简短的证明。通常就依靠同样的辅助线，隐含的使用梅涅劳斯定理。

常用证法

常用的证法是过三角形的顶点，作对边的平行线。

如，过A作AG//BC，设AG交EF于G。

则：

且

两式相乘，得

整理得结论。

(辅助线是神一般的存在，当她显像的时候，一切都明了。)

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