奈奎斯特采样定理与压缩感知
姓名：苏彦恺
学号：14020150008
【嵌牛导读】：传统的奈奎斯特采样定律随着数字信号处理技术的发展，其缺陷以及应用上的不便日渐凸显，压缩感知技术应运而生。本文依据《数字信号处理》课程所学，对奈奎斯特采样定理进行了原理以及上的概述，同时在本文的后半部分，对压缩感知这一新式的信号处理技术进行了简单介绍。在本文的末尾，依据奈奎斯特采样定理与压缩感知原理上的异同进行了优缺点的分析，同时对压缩感知的发展进行了展望。
【嵌牛鼻子】：数字信号处理；奈奎斯特采样定理；压缩感知；稀疏矩阵
【嵌牛提问】：什么是压缩感知？与传统的奈奎斯特采样定理相比，压缩感知有什么样的特点和优势？
【嵌牛正文】：
奈奎斯特采样定理部分
一、概述
在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。该定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。 它为采样率建立了一个足够的条件，该采样率允许离散采样序列从有限带宽的连续时间信号中捕获所有信息
二、基本原理:
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍；采样定理又称奈奎斯特定理。
要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
当用采样频率F对一个信号进行采样时,信号中F/2以上的频率不是消失了,而是对称的映象到了F/2以下的频带中,并且和F/2以下的原有频率成分叠加起来,这个现象叫做“混叠”(aliasing).
消除混叠的方法有两种:
1.提高采样频率F,即缩小采样时间间隔.然而实际的信号处理系统不可能达到很大的采样频率,处理不了很多的数据.另外,许多信号本身可能含有全频带的频率成分,不可能将采样频率提高到无穷大.所以,通过采样频率避免混叠是有限制的.
2.采用抗混叠滤波器.在采用频率F一定的前提下,通过低通滤波器滤掉高于F/2的频率成分,通过低通滤波器的信号则可避免出现频率混叠.
公式：C = B * log2 N ( bps )
三、应用
采样定理通常针对单个变量的函数进行公式化。因此，定理可直接适用于时间相关的信号，并且通常在该上下文中公式化。然而，采样定理可以以直接的方式扩展到任意多个变量的函数。
灰度图像通常表示为代表位于行和列采样位置的交叉处的像素（图像元素）的相对强度的实数的二维阵列（或矩阵）。因此，图像需要两个独立变量或索引，以指定每个像素唯一一个用于行，一个用于列。
彩色图像通常由三个单独的灰度图像的组合构成，一个代表三原色（红色，绿色和蓝色）或简称RGB中的每一个。对于颜色使用3向量的其他颜色空间包括HSV，CIELAB，XYZ等。诸如青色，品红色，黄色和黑色（CMYK）的一些颜色空间可以通过四维表示颜色。所有这些都被处理为二维采样域上的向量值函数。
类似于一维离散时间信号，如果采样分辨率或像素密度不足，图像也可能遭受混叠。例如，具有高频率（换句话说，条纹之间的距离小）的条纹衬衫的数码照片可以在衬衫被照相机的图像传感器采样时导致衬衫的混淆。对于这种情况，在空间域中采样的“解决方案”将是更靠近衬衫，使用更高分辨率的传感器，或者在用传感器采集图像之前对图像进行光学处理
图1.1奈奎斯特采样在图像处理的应用
压缩感知部分
一、概述
压缩感知（Compressed sensing），也被称为压缩采样（Compressivesampling）或稀疏采样（Sparse sampling），是一种寻找欠定线性系统的稀疏解的技术。压缩感知被应用于电子工程尤其是信号处理中，用于获取和重构稀疏或可压缩的信号。这个方法利用讯号稀疏的特性，相较于奈奎斯特理论，得以从较少的测量值还原出原来整个欲得知的讯号。MRI就是一个可能使用此方法的应用。这一方法至少已经存在了四十年，由于David Donoho、Emmanuel Candès和陶哲轩的工作，最近这个领域有了长足的发展。近几年，为了因应即将来临的第五代移动通信系统，压缩感知技术也被大量应用在无线通讯系统之中，获得了大量的关注以及研究。
二、基本原理
为了更好的说明压缩感知的基本原理，在这里引入奈奎斯特采样进行比较说明。
图2.1奈奎斯特采样示意图
如图2.1所示， 图b、d为三个余弦函数信号叠加构成的信号，在频谱图（图a）中只有个峰值。 如果对其进行8倍于全采样的等间距亚采样（图b下方的红点），则频域信号周期延拓后，就会发生混叠（图c），无法从结果中复原出原信号。
图2.2压缩感知采样示意图
而如果采用随机亚采样（图2.2b上方的红点），那么这时候频域就不再是以固定周期进行延拓了，而是会产生大量不相关的干扰值。如图2.2c，最大的几个峰值还依稀可见，只是一定程度上被干扰值覆盖。这些干扰值看上去非常像随机噪声，但实际上是由于三个原始信号的非零值发生能量泄露导致的（不同颜色的干扰值表示它们分别是由于对应颜色的原始信号的非零值泄露导致的）。得到如图2.2d的频谱图后，再采用匹配追踪的算法，就可以对信号进行恢复。以上就是压缩感知理论的核心思想——以比奈奎斯特采样频率要求的采样密度更稀疏的密度对信号进行随机亚采样，由于频谱是均匀泄露的，而不是整体延拓的，因此可以通过特别的追踪方法将原信号恢复。
三、应用
1、全息成像
全息成像是一种记录被摄物体反射（或透射）光波中全部信息（振幅、相位）的照相技术，而物体反射或者投射的光线可以通过记录胶片完全重建，通过不同方位和角度观察照片，可以看到被拍摄的物体的不同的角度，因此记录得到的想可以使人产生立体视觉。然而全息图记录的立体信息非常庞大，在满足传统的香农采样定理进行采样时很难达到的带宽及存储和传输这些信息成为限制全息术发展的难题。
压缩感知技术为传统的信息采样传输带来了革命性的突破，为信号的计算和传输节省了很大资源。利用压缩感知可以去掉大量没有实际意义的信息采样，通过远低于传统采样样本点就可以重构出原始信号，解决了全息术在数据存储和传输方面的限制。
2、核磁共振成像
核磁共振成像作为一种极其重要的医学成像技术，具有对病灶诊断精确、对人体安全性高等优点，但是较长的数据采集时间成为其广泛应用的瓶颈。因此，在保证成像质量的前提下，探索一种新的快速成像方法迫在眉睫。压缩感知作为一种全新的信号采样理论，针对稀疏信号或可压缩信号，可以在采样数量远少于传统采样方式的情况下精确地恢复出原始信号，这就为核磁共振图像的快速获取提供了一种新的思路。
四、奈奎斯特和压缩感知的对比
从采样的角度来看，压缩感知和基于奈奎斯特采样定理的传统信号采集是两种不同形式的信号采集方式。（压缩感知打破了传统信号处理中对于奈奎斯特采样要求的限制）
1.采样率：在压缩感知理论下，信号的采样率不再取决于信号的带宽，而是取决于信息在信号中的结构与内容（稀疏性）。关于采样率的计算方式，压缩感知是从少量离散测量数据恢复离散数字信号，其计算方式为采样率=测量值的大小/恢复信号的大小；而传统信号采集是从离散采样数据中恢复模拟信号。
2.信号采集方式：传统采样理论是通过均匀采样获取数据；压缩感知则通过计算信号与一个观测函数之间的内积来获得观测数据。
3.恢复信号形式：传统采样定理关注的对象是无限长的连续信号；压缩感知是有限维观测向量空间的向量即离散信号。
4.恢复信号方式：传统采样恢复是在奈奎斯特采样定理的基础上，通过采样数据的sinc函数线性内插获得，而压缩感知采用的是利用信号的稀疏性，从线性观测数据中通过求解一个非线性的优化问题来恢复信号的方法。
5.压缩感知的核心思想：压缩和采样合并进行，并且测量值远小于传统采样方法的数据量，突破香农采样定理的瓶颈，使高分辨率的信号采集成为可能。
总结
奈奎斯特采样定理一直是信号处理领域的金科玉律，但其性能仍没法满足诸如全息成像、核磁共振等产生庞大数据的技术的信息恢复。然而在数字信号处理领域进入二十一世纪以后，压缩感知技术带来了颠覆性的改变，以比奈奎斯特采样频率要求的采样密度更稀疏的密度对信号进行随机亚采样，通过特别的追踪方法将原信号恢复，使得用于恢复信号的数据量远少于传统采样所需要的数据量。压缩感知理论的诞生已经对计算科学、信号处理、电子信息等领域产生重大的影响，其理论具有广阔的应用前景，但仍然不够完善，希望在今后的研究中能弥补压缩感知现有的不足，展现其强大的生命力，为更多难题提供新的解决方法。
