高等代数理论基础63：同构

2019-04-13 本文已影响3人溺于恐

同构

定义：对实数域R上欧式空间V与 $V'$ ,若由V到 $V'$ 有一个双射 $\sigma$ ,满足：

1. $\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$

2. $\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$

3. $(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$

其中 $\alpha,\beta\in V,k\in R$ ,则称 $\sigma$ 为V到V'的同构映射

注：

1.同构的欧式空间必有相同的维数

若 $\sigma$ 是欧式空间V到V'的一个同构映射

则 $\sigma$ 也是V到V'作为线性空间的同构映射

2.每个n维欧式空间都与 $R^n$ 同构

设V是一个n维欧式空间,在V中取一组标准正交基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,在这组基下,V的每个向量 $\alpha$ 都可表成

$\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

令 $\sigma(\alpha)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in R^n$ ,是V到 $R^n$ 的一个双射, $\sigma$ 是V到 $R^n$ 的一个同构映射

3.同构作为欧式空间之间的关系具有反身性、对称性、传递性

首先,每个欧式空间到自身的恒等映射显然是一同构映射

即同构关系是反身的

其次,设 $\sigma$ 是V到V'的一同构映射,对逆映射 $\sigma^{-1}$

$\forall \alpha,\beta\in V'$ ,有 $(\alpha,\beta)=(\sigma(\sigma^{-1}(\alpha)),\sigma(\sigma^{-1}(\beta)))$

$=(\sigma^{-1}(\alpha),\sigma^{-1}(\beta))$

即 $\sigma^{-1}$ 是V'到V的一同构映射,故同构关系是对称的

设 $\sigma,\tau$ 分别是V到V',V'到V''的同构映射

易证, $\tau\sigma$ 是V到V''的同构映射,故同构关系是传递的

注：任两个n维欧式空间都同构

定理：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同

注：定理说明,欧式空间的结构完全被它的维数决定