高等数学：函数与极限题选(7)

2018-11-22 本文已影响13人溺于恐

1.设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ,则当 $x\to 0$ 时,有（）

(A)f(x)与x是等价无穷小

(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小

(C)f(x)是比x高阶的无穷小

(D)f(x)是比x低阶的无穷小

解：

$\lim_{x\to 0}{f(x)\over x}$

$=\lim{x\to 0}{2^x+3^x-2\over x}$

$=\lim_{x\to 0}{2^x-1\over x}+\lim_{x\to 0}{3^x-1\over x}$

$=ln2+ln3=ln6\neq 1$

$\therefore x\to 0时,f(x)与x同阶但非等价无穷小,选B$

2.设 $f(x)={e{1\over x}-1\over e^{1\over x}+1}$ ,则x=0是f(x)的（）

(A)可去间断点

(B)跳跃间断点

(C)第二类间断点

(D)连续点

解：

$f(0^-)=\lim_{x\to 0^-}f(x)=-1$

$f(0^+)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=1$

$f(0^-),f(0^+)均存在,但f(0^-)\neq f(0^+)$

$\therefore x=0是f(x)的跳跃间断点,选B$

3.把半径为R的一圆形铁皮自圆心处剪去圆心角为 $\alpha$ 的一扇形后围成一无底圆锥,建立圆锥体积V与角 $\alpha$ 间的函数关系

解：

$设圆锥高为h,底面半径为r$

$则\begin{cases}2\pi R-R\alpha=2\pi r\\ h^2+r^2=R^2\end{cases}$

$解得r={2\pi-\alpha\over 2\pi}R,h={R\over 2\pi}\sqrt{4\pi \alpha-\alpha^2}$

$\therefore V={1\over 3}\pi r^2h$

$={R^3\over 24\pi^2}(2\pi-\alpha)^2\sqrt{4\pi \alpha-\alpha^2}$

4. $\lim_{x\to \infty}({2x+3\over 2x+1})^{x+1}$

解：

$设t={2x+1\over 2},则x={2t-1\over 2}$

$当x\to \infty时,t\to \infty$

$原式=\lim_{t\to \infty}(1+{1\over t})^{2t+1\over 2}$

$=\lim_{t\to \infty}(1+{1\over t})^{t{2t+1\over 2t}}$

$=e^{\lim_{t\to \infty}{2t+1\over 2t}ln(1+{1\over t})^t}=e$

5. $\lim_{x\to 0}{tanx-sinx\over x^3}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0}{sinx(secx-1)\over x^3}$

$=\lim_{x\to 0}{{x^3\over 2}\over x^3}={1\over 2}$

6. $\lim_{x\to 0}({a^x+b^x+c^x\over 3})^{1\over x}(a\gt 0,b\gt 0,c\gt 0)$

解：

$原式=e^{\lim_{x\to 0}{1\over x}ln{a^x+b^x+c^x\over 3}}$

$=e^{\lim_{x\to 0}{1\over x}ln(1+{a^x+b^x+c^x-3\over 3})}$

$=e^{\lim_{x\to 0}{a^x+b^x+c^x-3\over 3x}}$

$=e^{{1\over 3}\lim_{x\to 0}({a^x-1\over x}+{b^x-1\over x}+{c^x-1\over x})}$

$=e^{{1\over 3}\lim_{x\to 0}({e^{xlna}-1\over x}+{e^{xlnb}-1\over x}+{e^{xlnc}-1\over x})}$

$=e^{{1\over 3}\lim_{x\to 0}({xlna\over x}+{xlnb\over x}+{xlnc-1\over x})}$

$=e^{{1\over 3}ln(abc)}=\sqrt[3]{abc}$

7. $\lim_{x\to {\pi\over 2}}(sinx)^{tanx}$

解：

$设t=x-{\pi\over 2}$

$原式=\lim_{t\to 0}(cost)^{-{cost\over sint}}$

$=\lim_{t\to 0}(1+cost-1)^{{1\over cost-1}{cost-1\over -sint}cost}=e^0=1$

8. $\lim_{x\to a}{lnx-lna\over x-a}$

解：

$设t=x-a,则x=a+t,$

$当x\to a时,t\to 0$

$原式=\lim_{t\to 0}{ln(1+{t\over a})\over t}$

$=\lim_{t\to 0}{{t\over a}\over t}={1\over a}$

9. $\lim_{x\to 0}{xtanx\over \sqrt{1-x^2}-1}$

解：

$原式=\lim_{x\to 0}{x^2\over -{1\over 2}x^2}=-2$

10.若存在直线L：y=kx+b,使当 $x\to \infty(或x\to +\infty,x\to -\infty)$ 时,曲线y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离 $d(M,L)\to 0$ ,则称L为曲线y=f(x)的渐近线,当直线L的斜率 $k\neq 0时$ ,称L为斜渐近线

(1)证明：直线L：y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充分必要条件是 $k=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}{f(x)\over x}$ , $b=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}[f(x)-kx]$

(2)求曲线 $y=(2x-1)e^{1\over x}$ 的斜渐近线

解：

$(1)\because d(M,L)={|kx-y+b|\over \sqrt{1+k^2}}$

$\therefore \lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}} d(M,L) = \lim_{x\to \infty}{|kx-y+b|\over \sqrt{1+k^2}}=0$

$即\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}[kx+b-f(x)]=0$

$\therefore b=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}[f(x)-kx]$

$\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}[{f(x)\over x}-k]=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}{1\over x}[f(x)-kx]$

$=b\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}{1\over x}=0$

$\therefore k=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}{f(x)\over x}$

$\therefore 曲线y=f(x)有斜渐近线y=kx+b$

$其中k=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}{f(x)\over x},b=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}[f(x)-kx]$

$反之,若k=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}{f(x)\over x},b=\lim_{\substack{x\to \infty\\\begin{matrix}x\to +\infty\\x\to -\infty\end{matrix}}}[f(x)-kx]$