巴拿赫空间与柯西收敛

Banach空间就是任意柯西序列均收敛的赋范空间，也被称为完备赋范空间。

典型的例子有：

实数集和复数集以绝对值为范数，

可数维实或复向量空间，和上界范数，也就是向量各分量中绝对值最大的那个作为向量的范数值

可数维实或复向量空间，和欧几里得范数，平方和的算术平方根。

闭区间上的连续函数空间，和上界范数，也就是函数值中绝对值最大的那个作为范数值。

然后是收敛性，这种收敛性就像积的性质一般，对于实数集或者复数集，收敛是显然的，在基础课程中已经了解了，对于有限维或者可数维的推广，也是自然的，各个维度的收敛都是数的收敛，通过积结构组合在一起就是序列收敛或者函数收敛。对于无穷维可能不那么显然。不过考虑恒等式，则无穷维总可以简化到某一维。这种收敛就显然了，这也是一种巧妙的搭建手法，将一个基本操作重复许多次，或者无穷多次，就获得了新的操作，虽然在本质上差别并不大。

最后，在Banach空间中，柯西列总是收敛的，而在赋范空间中，柯西列需要有一个收敛的子列，才是收敛的，

还有对柯西列的表征，这种序列就是彼此挨得很近的序列，在趋向无穷的过程中，序列中的点逐渐集中在一个任意小的区域内，直观上看显然是要收敛到一个点的。

拓展：

考虑代数结构的拓扑构造，正向系统和逆极限，对于代数结构序列，同样可以定义出极限来，只是这种极限就要复杂很多，一般是通过态射连接，无限降子群列，或者子模序列，最后收敛到可数积积结构。代数总是有一个中心点的，也就是零元素，零元素非常特殊，他周围的性质一般可以通过代数结构上定义的乘法迁移到其他的任意元素周围，这种作用也被称为可迁作用，性质经过迁移作用而得到保持也就是平移不变性。所以，对零元素定义出拓扑结构后就可以通过这种可迁作用自然的推广到整个空间。这种拓扑结构就非常抽象，想象是很难想象出来的。

代数结构的完备化，同样需要构造出各种序列，这种序列的收敛性可以从同态的性质而来，一个群通过同态连接另一个群，对这个同态进行限定，比如正合性，或者单性，满性，就会获得不同的效果，或者是收缩，或者是扩张，然后，这样不断连接下来，就能获得特殊的代数结构，或者是包纳所有序列项结构的最小结构，或者是所有序列项结构共同具有的最大的结构，就像最大公约数和最小公倍数一样，前者是包含了一列数中公因数的最大数，而后者包括了一列数中所有因数的最小数。这其实就是泛性质，从一系列对象中选出最特殊的那一个。

经过这种抽象推广，就可以将收敛的定义推广开来，成为一种基本构造手段，在意想不到的地方出现，完备化就是保证了这种序列结构的收敛，也是一种非常重要的性质了，完备化之后，只要构造出一个合适序列，就可以直接断定极限存在。有了这种性质就可以使用很多存在性证明。