题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

解题思路

假定给定数据大小为n，定义一个n23的状态转移数组：dp[天数][当前是否持股][卖出的次数]。

具体一天结束时的6种状态：

• 未持股，未卖出过股票：说明从未进行过买卖，利润为0，dp[i][0][0]=0
• 未持股，卖出过1次股票：可能是今天卖出，也可能是之前卖的（昨天也未持股且卖出过），dp[i][0][1]=max(dp[i-1][1][0]+prices[i],dp[i-1][0][1])
• 未持股，卖出过2次股票:可能是今天卖出，也可能是之前卖的（昨天也未持股且卖出过），dp[i][0][2]=max(dp[i-1][1][1]+prices[i],dp[i-1][0][2])
• 持股，未卖出过股票：可能是今天买的，也可能是之前买的（昨天也持股），dp[i][1][0]=max(dp[i-1][0][0]-prices[i],dp[i-1][1][0])
• 持股，卖出过1次股票：可能是今天买的，也可能是之前买的（昨天也持股），dp[i][1][1]=max(dp[i-1][0][1]-prices[i],dp[i-1][1][1])
• 持股，卖出过2次股票：最多交易2次，这种情况不存在，dp[i][1][2]=float('-inf')

根据上面的状态转移情况，以下为实现：

int maxProfile(vector<int>& prices){
    int n = prices.size();
    if(n<2)  return 0;

    int INT_MIN = numeric_limits<int>::min();
    vector<vector<vector<int>>> dp(n, vector<vector<int>>(2, vector<int>(3, 0)));
    dp[0][0][0] = 0;
    dp[0][1][0] = -prices[0];
    dp[0][0][1] = INT_MIN;
    dp[0][0][2] = INT_MIN;
    dp[0][1][1] = INT_MIN;
    dp[0][1][2] = INT_MIN;

    for(int i=1;i<n; i++){
        dp[i][0][0] = 0;
        dp[i][0][1] = max(dp[i-1][1][0]+prices[i], dp[i-1][0][1]);
        dp[i][0][2] = max(dp[i-1][1][1]==INT_MIN ? INT_MIN : dp[i-1][1][1]+prices[i], dp[i-1][0][2]);

        dp[i][1][0] = max(dp[i][0][0]-prices[i], dp[i-1][1][0]);
        dp[i][1][1] = max(dp[i-1][0][1]==INT_MIN ? INT_MIN : dp[i-1][0][1]-prices[i], dp[i-1][1][1]);
        dp[i][1][2] = INT_MIN;
    }
    return max(max(dp[n-1][0][1], dp[n-1][0][2]), 0);
}