矩阵

2019-05-07 本文已影响0人微斯人_吾谁与归

一.矩阵概念的一些背景

略

矩阵相等的概念：同型且对应值相等。

单位矩阵
零矩阵
方正
上（下）三角矩阵
对角矩阵
奇异矩阵
正交矩阵
伴随矩阵

二.矩阵的运算

1.加法

定义
结合律、交换律、负矩阵、零矩阵
r(A+B)<=r(A)+r(B)

2.乘法

定义：略，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等
适合结合律、不适合交换律（交换不一定满足列行相等，若满足得到的矩阵不一定维数相等，维数相等，矩阵内值不一定相等。），适合分配律
单位矩阵：AE=EA=A，单位矩阵可以与所有矩阵做交换乘法，kE数量矩阵亦可。
方幂: $A^{1}=A$ , $A^{k+1}=A^{k} A$ ,方幂只能对方幂来定义。 $（（AB)^k$ 与 $A^kB^K$ 不相等，因为矩阵乘法不适用交换律。
AB=AC,不能得出A=C,因为AB=0时，A,B可能都不是0，所以A(B-C)=0,B-C也可能不等于0.

3.数量乘法

定义
满足： $(k+l) \boldsymbol{A}=k \mathbf{A}+l \mathbf{A}$ ， $k(A+B)=k A+k B$ ， $k(l \mathbf{A})=(k l) \boldsymbol{A}$ ， $1 A=A$ ， $k(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=(\boldsymbol{k} \mathbf{A}) \mathbf{B}=\mathbf{A}(k \boldsymbol{B})$ 。

4.转置

定义
满足：(A')'=A,(A+B)'=A'+B',(AB)'=B'A', $(kA)'=kA$

5.矩阵多项式：

设A为n阶矩阵 $f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ ，令 $f(A)=a_{n} A^{n}+a_{n-1} A^{n-1}+\cdots+a_{1} A+a_{0} E$ ，称f(A)为A的矩阵多项式。矩阵多项式也可以进行分解，如

$A^{2}+A-2 E=(A+2 E)(A-E)$ 。

三.矩阵乘积的行列式与秩

1.几个计算

$|\boldsymbol{A B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$
$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=|\boldsymbol{A}|$
$|k \boldsymbol{A}|=k^{n}|\boldsymbol{A}|$
$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$
如果A可逆， $\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}$

2.秩

A是退化矩阵，|A|=0,r(A)<n.AB是退化矩阵，A和B至少有一个是退化的。
r(AB)<=min{r(A),r(B)}

四.矩阵的逆

1.定义

n级方阵A称为可逆的，如果存在n级方阵B,使得AB=BA=E
只有方阵才有逆矩阵
逆矩阵是唯一的

2.逆矩阵存在的充分必要条件

n级矩阵A可逆的充分必要条件是A是非退化矩阵|A|!=0

3.逆矩阵的求法

定义法
伴随矩阵法： $A^{-1}=1/dA^{*}$ ,其中A是非退化的
- 推论： $\left(A^{\prime}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\prime}$
- 推论： $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{1}$
初等矩阵法：(A:E)经过初等行变换，变成（E: $A^{-1}$ ）
定理： A是一个sxn的矩阵，P是sxs矩阵，Q是nxn矩阵，那么r(A)=r(PA)=r(AQ)

五.矩阵的分块

1.分块矩阵的乘法

2.几个特殊矩阵的逆

$D=\left( \begin{array}{ll}{A} & {O} \\ {C} & {B}\end{array}\right)$ , $D^{-1}=\left( \begin{array}{cc}{A^{-1}} & {0} \\ {-B^{-1} C A^{-1}} & {B^{-1}}\end{array}\right]$ ,|D|=|A||B|
$\left( \begin{array}{ll}{\boldsymbol{O}} & {\boldsymbol{A}} \\ {\boldsymbol{B}} & {\boldsymbol{O}}\end{array}\right)^{-1}=\left( \begin{array}{cc}{\boldsymbol{O}} & {\boldsymbol{B}^{-1}} \\ {\boldsymbol{A}^{-1}} & {\boldsymbol{O}}\end{array}\right)$ ,D= $(-1)^{nm}$ |A||B|
准对角矩阵的逆，与乘法:略

六.初等矩阵

1.定义

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
三类略

2.定理

一个sxn的矩阵A作初等行变换相当于在A的左侧乘上对应的sxs初等矩阵，对A作初等列变换相当于在A的右侧，乘以对应的nxn的初等矩阵
等价：
- 矩阵A与B等价，如果B可以由A经过一系列初等变换得到，等价具有自反向，对称性与传递性。
- 矩阵A与B等价的充分必要条件是，存在初等矩阵 $P_i,Q_j$ ,使得 $\mathbf{A}=\boldsymbol{P}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{P}_{2} \cdots \boldsymbol{P}_{i} \boldsymbol{B} \boldsymbol{Q}_{1} \boldsymbol{Q}_{2} \cdots \boldsymbol{Q}_{i}$ ，即存在s级可逆矩阵P与n级可逆矩阵Q,使得 $A=PBQ$
- n级矩阵A可逆的充分必要条件是存在一系列初等矩阵，使得 $\mathbf{A}=\boldsymbol{Q}_{1} \boldsymbol{Q}_{2} \cdots \boldsymbol{Q}_{*}$ ,可逆矩阵总可以通过一系列初等变化化成单位矩阵。
任何一个sxn矩阵A都与一个形式为矩阵等价，它称为矩阵的标准型，主对角线上1的个数等于矩阵A的秩。

矩阵

一.矩阵概念的一些背景

二.矩阵的运算

1.加法

2.乘法

3.数量乘法

4.转置

5.矩阵多项式：

三.矩阵乘积的行列式与秩

1.几个计算

2.秩

四.矩阵的逆

1.定义

2.逆矩阵存在的充分必要条件

3.逆矩阵的求法

五.矩阵的分块

1.分块矩阵的乘法

2.几个特殊矩阵的逆

六.初等矩阵

1.定义

2.定理

七.分块乘法的初等变换及应用举例

1.分块矩阵的使用技巧

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