[数学建模第三讲] 差值算法

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差值算法

有时候数据太少不足以支持分析的进行，这时候使用数学方法模拟产生一些新的比较靠谱的数据来满足需求，这就是差值的作用。

还可以用来预测未来的数据。

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<center>预测未来人口数量</center>
插值法：求的过程

• 分段差值
• 差值多项式
• 三角差值

差值多项式

• 只要n+1个节点互异，满足差值条件的多项式是唯一存在的
• 如果不限制多项式的次数，那么差值多项式不唯一

拉格朗日插值法：一种多项式差值方法

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问题：高次差值会产生龙格现象，即两端波动极大，产生明显震荡。

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改进：分段线性差值

如何提高差值精度？采用分段低次差值

• 分段线性差值：只用最近的两个点，构造线段取其中点
• 分段二次差值：对于给出的，取其最近的三个点，构造二次函数，再获得

牛顿差值法

• 牛顿差值具有继承性，加入新的节点时只要在后面加上新的一项而与前面无关
• 但是还是有龙格现象、

这两个方法的缺点

• 龙格现象（Runge ）
• 不能全面反映被差值函数的性态：在相同节点处只有相同的函数值，但是低阶或高阶导数值不相同，不能反映变化趋势

埃尔米特（Hermite）差值

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不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

分段三次埃尔米特差值（常用）

• 直接使用函数：p=pchip(x,y,new_x)，返回new_x对应的y值向量p

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• 画图：plot(x, y, 'o', x2, y2, 'r-')

三次样条差值（常用）

• 能较全面地反映被差值函数的性态，且三次样条函数收敛性强，曲线光滑度更好/节点处更加光滑。

• 和分段线性差值比较：

  • 缺点：分段线性插值不能保证在节点处的插值函数的导数的连续性，即不光滑。但三次样条插值却弥补了分段线性插值在节点处不光滑的缺陷，从而在某些工程技术上得到了很好的应用。
  • 优点： 一方面，与原函数相比，分段线性插值和3次多项式插值函数在每个单元区间上收敛性强，数值稳定性好且易于计算机编程实现；另一方面，分段线性插值计算简便。
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• 函数：p=spline(x,y,new_x)

作图sin：红色是三次埃尔米特差值法，蓝色是三次样条差值，蓝色非常接近sin

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n维数据的差值（了解）

p = interpn(x1,x2,...,xn, y, new_x1,newx_2,...,new_xn, method)
% method是要插值的方法
% ‘linear’：线性插值（默认算法）；
% ‘cubic’：三次插值；
% ‘ spline’ ：三次样条插值法； ( 最为精准 )
% ‘nearest’：最邻近插值算法。

p = spline(x, y, new_x);
等价于 
p = interpn (x, y, new_x, ’spline’);