难点突破十五：用数形结合的思想解决因数变化引起积的变化问题

    案例1：两个因数相乘，如果一个因数增加4，积就增加64；如果另一个因数减少7，积就减少140。原来两个因数的积是多少？

思路一：两个数相乘，如果一个因数增加4，则积就增加了另一个因数的4倍，则另一个因数为64÷4=16；如果另一个因数减少7，则积就减少了这个因数的7倍，则这个因数为140÷7=20．即这个乘法算式为16×20=360。 

反思：这样抽象化的描述学生是否能快速理解？举例用式子表达，是否会让此题的讲解可视化？

思路二：举例理解其中的道理：若原来的算式是2×a=6，若将其中的一个因数2增加4，则变成：6×a=18。比较两个算式可知，一个因数增加了4，其左边就增加了4个a，右边的积增加了12，4a=12，则a等于12÷4=3，由此可知a=3。即：用积的变化量除以因数的变化量，得到的是不变的那个因数。

反思：用字母表示数是五年级的知识，加入了字母，对于理解能力较弱的学生是否更加抽象？

思路三：改变策略，与长方形面积相结合，利用数形结合的方法帮助学生理解。

      借助图形是否就更清晰了？这样将其抽象的数学变得可视化，学生理解起来也容易多了。这样的解题思路，正好将三年级面积问题与四年级两位数乘三位数问题建立了联系。

        比如三年级面积问题：一个长方形，如果长不变，宽增加2米，面积要增加12平方米；如果宽不变，长增加3米，面积也增加12平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

      与图形结合起来理解，若把宽增加4，则面积增加64平方米，可得到原来的长是64÷4=16米。将长减少7米，面积减少140平方米，可得到原来的宽是140÷7=20米。原来的面积为16×20=320平方米。

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