毕达哥拉斯学派和几何学的诞生（三）

我们接着上一讲内容，继续来看。现在的问题是我们心中怎么会有方性与圆性的区分，这来自哪里？这就是要害处，方和圆是空间关系，空间关系怎么来到我们心中？我们就来说明这样一个道理，比方说我们都知道三维空间，三维空间可以用笛卡尔坐标系来表达，×轴和 y轴构成一个平面，如果在× 轴和 y轴的起点上又竖一个垂直向上的轴，就是z轴，X、y、z三根轴就构成一个三维立体空间。

现在我们要问，三维空间是你眼睛看到的吗？你眼睛能看得到空间吗？你看到的是空间中的事物，而你把这些事物按照上下左右前后的位置关系来把握了。原来空间是我们把握外部被感知到的事物之间关系的一个内心的结构。

第一，我们不可能看到空间本身，我们只可能看到空间中的事物，而空间本身是我们整理外部事务的方式，我们把这个事物看成在那个事物的前面，那个事物在这个事物的后面，这叫前后还有左右，还有上下，这是我们人心安排事物，是感知事物的那种位置关系的形式，这位置关系的形式是我们赋予我们的感知的一种形式，它不是我们的对象，空间中的事物才是我们的对象，空间从来不可能是我们感知的对象，我们是以空间的方式感知事物。

那么，我们感知事物的空间方式又来自哪里？回答是来自我们的操作，简言之，来自我们的实践。

假如我们把一个婴孩放在童车上，成年人有事情要做，就把这个小孩放在童车里了，这小孩很寂寞，那么可以给他玩具。假定我们在他的童车上竖立一个架子，在这个架子上用一根线悬一颗红色的球，这种颜色突出容易被婴孩注意到。现在这小孩有事可做了，他的手要伸过去抓这个红球，一开始他抓不到，经过多少次失败之后，他终于成功地抓到红球。他一次又一次地抓，成功率渐渐提高。在这个过程中发生了什么事？三维空间进入了他的内心。三维空间怎么会成为我们感知事物的方式的呢？因为我们首先跟事物打交道了，就像小孩子用手去抓那个红球一样。

跟事物打交道就是马克思哲学里边讲的实践。实践是认识的源泉和基础，这句话我们都听说过，实践其实不光是认识的内容的源泉和基础，实际上还是认识的形式的源泉和基础。空间就是一种认识形式，也就是我们感知事物的形式，它也来自世界。在实践中种种认识的形式便进入我们的内心。几何学就只讨论空间这种形式本身，而对他的讨论是可以用理性来进行的，理性就可以对这些形式做出判断，而不管这种形式在现实世界中存在与否。假如世界上根本没有三角形的事物，几何科学家照样讨论三角形。

我们还知道几何学的发展，后来有一次重大的进步，那就是非欧几何的形成。有两位几何学家不约而同地创立了非欧几何，一个叫李曼，一个叫罗巴切夫斯基。他们突破了欧几里得的几何学，而非欧几何所描绘的空间形式完全超出我们三维空间的直观。在非欧几何的著作中所描述的空间形式、位置关系在这个世界上也是一样，看不到摸不到的。非欧几何并不是来自他们头脑的怪象，不是他们的奇思异象的产物。非有几何学的物理意义很快被确认了。倘若物理学要研究，要观察，又要描述宏观世界和微观世界，我们通常在宏观世界中比宏观世界更大尺度的世界叫与观世界，还有基本粒子运动的世界叫微观世界。欧几里德的几何学适用于宏观世界，一旦到了预观世界和微观世界，就必须是运用非欧几何。在大尺度的宇宙空间中，光线是弯曲的，这只能用肥欧几何来描述。

这样的事情说明了什么，几何学家尽管可以去讨论他们从来没有感知到的那种形式，那种空间关系。他们怎么会讨论到这样的空间关系？是因为他们在几何学自己的理性的基础上继续往前走，运用理性的推论，提出了非欧几何。他们做这样的事情根本不需要来自现实世界上的经验上的证据，这是理性自己在前进，理性往前推论推出来的东西，早晚有一天现实世界会印证它，现在没有得到印证没关系，将来会印证。

古希腊哲学的精神就是这样起步了。我们先前提到过古埃及，古埃及有非常丰富的几何知识，他们的丰富的几何知识来自哪里？原因在于尼罗河定期的泛滥，当时的土地已经私有化了，经过尼罗河泛滥之后，土地与土地之间的地界的界标被冲掉了，于是他们必须在每一次泛滥结束之后重新丈量土地。重新丈量土地的需要让古埃及人发展出非常丰富的几何知识。那时候就有希腊的能人到古埃及去学习，包括学习他们的几何知识。但是几何知识不等于几何学的公理。希腊人比古埃及人跨了更大的一步，把几何做成了一门纯粹理性的学问，古埃及人只是有几何知识，中国人也有丰富的几何知识。

我们听说过一个定理，叫勾股定理，西方人称之为毕达哥拉斯定理。不同的民族不约而同地发现，但是我们不能因此说我们中国有真正的几何学，中国人在这一点上跟古埃及人一样，只是有几何知识，并没有几何学。几何学的成立取决于他领会到他自己的原则，这个原则就是不借助对外部事物的观察测量，自己能推出一整套公理推理和推论，他是理性在展开自己的隐秘的判断。我们应该承认这一点，只有古希腊人才真正地发展出一门几何学来，其他民族都曾经有过程度不同的几何知识。