高中数学纲目

三角之目：2022年高考数学广东卷题18

2022-06-09 本文已影响0人易水樵

2022年数学广东卷题18

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\dfrac{\cos A}{1+\sin A}= \dfrac{\sin2B}{1+\cos2B}$ .

（1）若 $C=\dfrac{2\pi}{3}$ ，求 $B$ ;

（2）求 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的最小值；

【解答问题1】

$\dfrac{\cos A}{1+\sin A}= \dfrac{\sin2B}{1+\cos2B}=\dfrac{2\sin B \cos B}{2\cos^2B}$

$\cos A \cos B = \sin A \sin B + \sin B$

$\cos A \cos B - \sin A \sin B = \sin B$

$\cos(A+B)=\sin B$

$-\cos C =\sin B$

又∵ $C=\dfrac{2\pi}{3}$ , ∴ $\sin B = \dfrac{1}{2}$ , 且 $B \lt \pi$

∴ $B=\dfrac{\pi}{6}$ .

【解答问题2】

∵ $\dfrac{\cos A}{1+\sin A}= \dfrac{\sin2B}{1+\cos2B}$ ,

∴ $\cos C =-\sin B = \cos(B+90°)$

∴ $C=B+90°$ .

又∵ 在 $\triangle ABC$ 中， $A+B+C=180°$ , ∴ $0° \lt B \lt 45°$ ,

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt \cos B \lt 1$

$\dfrac{1}{2} \lt \cos^2 B \lt 1$

又∵ $A+B+C=180°$ , ∴ $\sin A=\sin(B+C)=\sin(2B+90°)=\cos2B$

根据正弦定理，

$\dfrac{a^2+b^2}{c^2} = \dfrac{\sin^2A+\sin^2B}{\sin^2C}$

$=\dfrac{\cos^2 2B+\sin^2B }{\cos^2B}$

$=\dfrac{4\cos^4B-4\cos^2B+1+1-\cos^2B}{\cos^2B}$

$=4\cos^2B+\dfrac{2}{\cos^2B}-5$

∵ $4\cos^2B+\dfrac{2}{\cos^2B} \geqslant 2 \sqrt{4\cos^2B \cdot \dfrac{2}{\cos^2B}}$

∴ $4\cos^2B+\dfrac{2}{\cos^2B} \geqslant 4\sqrt{2}$ , 当 $\cos^2B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时等号成立.

∴ $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的最小值是 $4\sqrt{2}-5$ .

【提炼与提高】

本题有两大特点，一是对于三角恒等变换要求较高；二是将不等式的考查综合到三角大题中。

在最近一些年的高中教材和高考题中，降低了对于三角恒等变换的要求。这种做法会给学生在大学阶段的学习造成隐患。

作为高中教学的指挥棒，高考数学中提高对于三角恒等变换的要求，是一项正确的改变。

将三角与不等式综合起来考查，则是很早就有的做法，并不新鲜。

【相关考题】

基本不等式与三角函数综合

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