38统计基础- 为什么除以n会低估了方差

为了理解为什么除以n会低估总体方差(population mean)，我们会从几个简单的例子开始，然后用数学证明，一劳永逸地。

在第一个简单的例子中，我想用0替换样本均值(sample mean)x，看看会发生什么。现在我们把测量值和0之间的差值平方，然后计算平均。现在我们把这个值画出来。

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当x为样本均值时方差最小，当x为总体均值时，方差要大于当x为样本均值时。也就是说，使用样本均值时，低估了总体均值的方差。

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现在，我们可以对公式求导，用它来确定v在不同值处曲线的斜率。当斜率为0时，我们就能求出方差最小的v值。提醒大家一下，导数对应的是紫色直线的斜率。我们想求出v的值，使紫色线的斜率为0，因为这是我们能求出的最小方差。为了使这个问题更清楚，我们将用三种不同的方法来求导数为零和方差最小的地方。

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第1种，我们将使用观测数据，找到方差最小的地方。

我们做的第一件事是把n代入5，因为我们有5个测量值。然后计算当斜率为0时，v的值。

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当v=17.6,方差最小。我们发现当v为样本平均值时方差小于当v为总体均值的方差。

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第2种，我们就会找到任何5个测量值，方差最小的地方。

把n代入5，因为我们有5个未知测量值。然后计算当斜率为0时，v的值。

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我们发现不管我们5个测量值是多少，当v为样本均值时，方差最小。

第3种，我们会讲如何求出任意样本的最小方差，不管样本大小如何。

当我们有n个测量值的样本。然后计算当斜率为0时，v的值。

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我们发现不管有多少个测量值，当v为样本均值时，方差最小。

结论：因此，当我们除以n时，样本均值的方差总是小于总体均值的方差。除非样本均值和总体均值完全相同，这几乎不会发生。

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