怎么利用函数的奇偶性求函数的解析式？

2020-06-30 本文已影响0人天马无空

利用函数的奇偶性求函数解析式

解题步骤：
第一步首先设出所求区间的自变量 $x$ ；
第二步运用已知条件将其转化为已知区间满足的 $x$ 的取值范围；
第三步利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.

例．已知 $f(x)$ 是定义 $(-1,1)$ 在上的奇函数, 当 $x \in (0,1)$ 时, $f(x)=\dfrac{2^x}{4^x+1}$ ，求 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上的解析式.

解：当 $x \in (-1,0)$ 时, $-x \in (0,1)$ , 因为函数 $f(x)$ 为奇函数,

$\therefore f(x)=-f(-x)=-\dfrac{2^{-x}}{4^{-x}+1}=-\dfrac{2^x}{1+4^x}$ ,

又 $f(0)=f(-0)=-f(0)$ ，

$\therefore 2f(0)=0$ ， $f(0)=0$ .
故当 $x \in (-1,1)$ 时, $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{2^x}{4^x+1},&x \in (0,1)\\ 0 ,&x=0\\ -\dfrac{2^x}{4^x+1},&x \in (-1,0)\end{cases}$ .

【注意】

（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；

（2）本题是求函数 $f(x)$ 在 $R$ 上的解析式，一定不要忘记 $x=0$ 时，函数 $f(x)$ 的值.

怎么利用函数的奇偶性求函数的解析式？

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